Question

20．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是邊AD的中點(diǎn)，M是邊AB上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交CD的延長線于點(diǎn)N，連接MD、AN．
（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）當(dāng)AM為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得ND∥AM，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到ND=MA，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．
∵E是AD中點(diǎn)，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠MAE}&{\;}\\{∠DNE=∠AME}&{\;}\\{DE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=AM，
∴四邊形AMDN是平行四邊形．
（2）解：當(dāng)AM=1時(shí)，四邊形AMDN是矩形．理由如下：
∵四邊形AMDN是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四邊形AMDN是矩形，
∴DM⊥AB，
即∠AMD=90°．
∵∠BAD=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=1．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．