Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，P是BC的中點(diǎn)，把△PAB沿著PA翻折得到△PAE，過(guò)C作CF⊥DE于F，若CF=2，則DF=_____．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明△AMD≌△DFC，則DM=FC=2，由折疊和正形

的邊長(zhǎng)相等得：AE=AD，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，設(shè)∠

MAD=α，則∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，則△PAH是等腰直角三

角形，證明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，設(shè)PG=x，則AM=2x，根據(jù)

AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解決問(wèn)題；

過(guò)A作AM⊥DF于M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，

∵∠ADF+∠MAD=90°，

∴∠FDC=∠MAD，

∵∠AMD=∠DFC=90°，

∴△AMD≌△DFC，

∴DM=FC=2，

由折疊得：AB=AE，BP=PE，

∵AB=AD，

∴AE=AD，

∴DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，

∵P是BC的中點(diǎn)，

∴PC=BC=AD=PE，

設(shè)∠MAD=α，則∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，

∴∠APE=90°﹣（45°﹣α）=45°+α，

∵∠EAM=∠DAM，∠BAP=∠PAE，

∴∠PAE+∠EAM=∠BAD=45°，

過(guò)P作PH⊥AM于H，過(guò)E作EG⊥PH于G，

∴△PAH是等腰直角三角形，

∴∠APH=45°，

∴∠HPE=α=∠MAD，

∵∠PGE=∠AMD=90°，

∴△PGE∽△AMD，

∴

∴

∴GE=1，AM=2PG，

設(shè)PG=x，則AM=2x，

∴AH=2x﹣1，

∵AH=PH，

∴2x﹣1=2+x，

x=3，

∴PG=3，AM=6，

∵△DAM≌△CDF，

∴DF=AM=6．

故答案為：6.