Question

8．四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120°，AB=BC=k•CD

（1）如圖，連接AC，求證：AC⊥DC；
（2）如圖，對角線AC、BD交于G．若AG=4GC，求k的值；
（3）若BC上存在唯一的點P，使∠APD=120°，直接寫出此時k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形ABC的頂角求得底角的度數(shù)，即可得出∠ACD=90°；
（2）先過點B作BE⊥AC于E，則∠AEB=90°，∠ABE=60°，設(shè)CD=1，則AB=BC=k，根據(jù)∠BAE=30°，求得CG=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{1}{5}\sqrt{3}$k，EG=AG-AE=$\frac{3}{10}\sqrt{3}$k，再根據(jù)△BEG∽△DCG，得出$\frac{EG}{CG}$=$\frac{BE}{DC}$，即$\frac{\frac{3}{10}\sqrt{3}k}{\frac{1}{5}\sqrt{3}k}$=$\frac{\frac{1}{2}k}{1}$，解方程求得k=3即可；
（3）先根據(jù)∠BAP=∠DPC，∠B=∠C=120°，判定△ABP∽△PCD，得到$\frac{PC}{AB}=\frac{CD}{BP}$，再設(shè)CD=1，BP=x，則AB=BC=k，PC=k-x，進(jìn)而得出$\frac{k-x}{k}=\frac{1}{x}$，即x²-kx+k=0，要使點P是唯一的，則方程x²-kx+k=0有兩個相等的實數(shù)根，據(jù)此得出△=k²-4k=0，求得k=4．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠BCD=120°，AB=BC，
∴△ABC中，∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，
∴AC⊥CD；

（2）如圖1，過點B作BE⊥AC于E，則∠AEB=90°，∠ABE=60°，
∴∠BAE=30°，
∴Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$AB，AE=CE=$\sqrt{3}$BE，
設(shè)CD=1，則AB=BC=k，
∴BE=$\frac{1}{2}$k，AE=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$k=CE，
∴AC=$\sqrt{3}$k，
又∵AG=4GC，
∴AG=$\frac{4}{5}$AC=$\frac{4}{5}\sqrt{3}$k，CG=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{1}{5}\sqrt{3}$k，
∴EG=AG-AE=$\frac{4}{5}\sqrt{3}$k-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$k=$\frac{3}{10}\sqrt{3}$k，
∵BE∥CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{BE}{DC}$，即$\frac{\frac{3}{10}\sqrt{3}k}{\frac{1}{5}\sqrt{3}k}$=$\frac{\frac{1}{2}k}{1}$，
化簡，得$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$k，
∴k=3；

（3）如圖2，∵∠APD=120°，
∴∠APB+∠DPC=60°，
又∵∠B=120°，
∴∠APB+∠BAP=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
 又∵∠B=∠C=120°，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{CD}{BP}$，
設(shè)CD=1，BP=x，則AB=BC=k，PC=k-x，
∴$\frac{k-x}{k}=\frac{1}{x}$，即x²-kx+k=0，
要使點P是唯一的，則方程x²-kx+k=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=k²-4k=0，
解得k=4或0，
又∵k＞0，
∴k=4．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形和直角三角形，運用相似三角形的對應(yīng)邊成比例以及勾股定理進(jìn)行計算求解．解題時注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根．