Question

【題目】如圖，CD是⊙O的直徑，OB⊥CD交⊙O于點B，連接CB，AB是⊙O的弦，AB交CD于點E，F是CD的延長線上一點且AF＝EF．

（1）判斷AF和⊙O的位置關系并說明理由．

（2）若∠ABC＝60°，BC＝1cm，求陰影部分的面積．（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】（1）AF和⊙O相切．理由見解析；（2）cm2

【解析】

（1）連結OA，如圖，由AF=AE得∠FAE=∠FEA，再利用對頂角相等和∠OBA=∠OAB可得∠OAB+∠FEA=90°，即∠OAF=90°，則OA⊥AF，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷AF為⊙O的切線；
（2）先判斷△OBC為等腰直角三角形得到OB的長，再利用圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=120°，則∠AOF=180°-∠AOC=60°，接著根據(jù)正切定義計算得到AF，然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式，利用S陰影部分=S△OAF-S扇形AOD進行計算．

解：(1)AF和⊙O相切．

理由如下：

連結OA，

∵AF=AE，∴∠FAE=∠FEA，∵∠FEA=∠OEB，∴∠FAE=∠OEB，

∵OB⊥CD，∴∠BOE=90°，∴∠OBE+∠OEB=90°，

而OB=OA，∴∠OBA=∠OAB，

∴∠OAB+∠FEA=90°，即∠OAF=90°，

∴OA⊥AF，∴AF為⊙O的切線；

(2)∵OB⊥CD，而OB=OC，∴△OBC為等腰直角三角形，∴OB= BC=，

∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，∴∠AOF=180°-∠AOC=60°，

在Rt△OAF中，∵tan∠AOF=AF/AO，

∴AF=，

∴S陰影部分=S△OAF-S扇形AOD

=××-

=（cm2）