Question

【題目】已知，如圖拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，，，點(diǎn)P是線段AB上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長度最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，和PQ最大值；

過點(diǎn)P作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)M，再過點(diǎn)P作軸交拋物線于點(diǎn)N，請問是否存在點(diǎn)P使為等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為；（3）或．

【解析】

（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法將點(diǎn)、代入拋物線的頂點(diǎn)式即可求出；

（2）由題意過點(diǎn)P作與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作于點(diǎn)G，并設(shè)直線AB解析式為與求出解析式，進(jìn)而設(shè)其中，則，建立關(guān)系式并運(yùn)用配方法求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和PQ最大值；

（3）根據(jù)題意可知若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，表示出PD、PE的長，列出關(guān)于a的方程，解之可得答案．

解：拋物線過點(diǎn)、，

設(shè)拋物線解析式為，

將點(diǎn)代入，得：，

解得：，

所以拋物線解析式為；

如圖1，過點(diǎn)P作與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作于點(diǎn)G，

設(shè)直線AB解析式為，

將點(diǎn)、代入，得：

解得：

則直線AB解析式為，

設(shè)其中，

則，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的面積有最大值，最大值為，

，，

，

，

，

，

即，

解得：，

最大值為；

如圖2，

若為等腰直角三角形，

則，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為b，

，，

則，

，

，

解得：或，

所以或．