Question

【題目】已知⊙O的直徑AB＝10，弦BC＝6，點(diǎn)D在⊙O上（與點(diǎn)C在AB兩側(cè)），過(guò)D作⊙O的切線PD．

（1）如圖①，PD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接PC，若PC與⊙O相切，求弦AD的長(zhǎng)；

（2）如圖②，若PD∥AB，

①求證：CD平分∠ACB；

②求弦AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AD＝8；（2）①證明見(jiàn)解析；②AD＝5．

【解析】

（1）先求得∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理求得AC，根據(jù)切線的性質(zhì)求得PD=PC，∠APC=∠APD，然后根據(jù)SAS求得△APC≌△APD，即可求得AD=AC=8；（2）連接OD、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OD⊥PD，進(jìn)而求得OD⊥AB，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求得AD=BD，從而求得CD平分∠ACB．根據(jù)勾股定理即可求得弦AD的長(zhǎng)．

（1）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝＝8，

∵PD、PC是⊙O的切線，

∴PD＝PC，∠APC＝∠APD，

在△APC和△APD中，

，

∴△APC≌△APD（SAS），

∴AD＝AC＝8．

（2）證明：①連接OD、BD，

∵PD是⊙O的切線，

∴OD⊥PD，

∵PD∥AB，

∴OD⊥AB，

∴，

∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD，

∴CD平分∠ACB．

②∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

在RT△ADB中，AD2+BD2＝AB2，

∴2AD2＝102，

∴AD＝5．