【題目】如圖,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4).點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí),求出t的值;
(2)當(dāng)t=1時(shí),拋物線(xiàn)y=2x2+bx+c經(jīng)過(guò)P,Q兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,在該拋物線(xiàn)上找點(diǎn)D,使∠MQD=∠MPQ,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】(1)或(2)或
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得:∠B=∠PAQ=90,所以當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí),存在兩種情況:①當(dāng)△PAQ∽△QBC時(shí),,②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時(shí),,分別列方程可得t的值;
(2)根據(jù)t=1求拋物線(xiàn)的解析式,根據(jù)Q(2,2),M(0,2),可得MQ∥x軸,則PM=PQ,PE⊥MQ,畫(huà)出符合條件的點(diǎn)D,利用三角函數(shù),列比例式可得點(diǎn)D的坐標(biāo),同理根據(jù)對(duì)稱(chēng)可得另一個(gè)點(diǎn)D.
(1)如圖1,
∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,且△PAQ可以構(gòu)成三角形,
∴0<t<2,
∵四邊形OABC是矩形,
∴∠B=∠PAQ=90
∴當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí),存在兩種情況:
①當(dāng)△PAQ∽△QBC時(shí),
,
∴,
4t210t+4=0,
(4t2)(t2)=0,
t1=2(舍),t2=,
②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時(shí),,
∴,
t26t+4=0,
t=,
∵>2,
∴t=不符合題意,舍去,
綜上所述,當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí),t的值是或;
(3)當(dāng)t=1時(shí),P(1,0),Q(2,2),
把P(1,0),Q(2,2)代入拋物線(xiàn)y=2x2+bx+c中得:
,解得:,
∴拋物線(xiàn):y=2x24x+2=2(x1)2,
∴頂點(diǎn)為P(1,0),
∵Q(2,2),M(0,2),
∴MQ∥x軸,
作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸,交MQ于E,設(shè)DQ交y軸于H,
∴PM=PQ,PE⊥MQ,
∴∠MPE=∠QPE=∠MPQ,
如圖2,∠MQD=∠MPQ=∠QPE,
∴tan∠MQD=tan∠QPE=,
即,MH=1,
∴H(0,3),Q(2,2)
設(shè)HQ的解析式為y=kx+b
把H(0,3),Q(2,2)代入得,解得
∴y= x+3,
則
,
解得:x1=2(舍),x2= ,
∴D;
同理,在M的下方,y軸上存在點(diǎn)H,如圖3,使∠HQM=∠MPQ=∠QPE,
由對(duì)稱(chēng)性得:H(0,1),
設(shè)HQ的解析式為y=px+q
把H(0,1),Q(2,2)代入得,解得
∴y=x+1,
∴HQ的解析式:y=x+1,
則,
,
解得:x1=2(舍),x2=,
∴D;
綜上所述,點(diǎn)D的坐標(biāo)為:D或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).線(xiàn)段和的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)在圖中畫(huà)出以為一邊的,點(diǎn)在格點(diǎn)上,使的面積為4,且的一個(gè)角的正切值是;
(2)在圖中畫(huà)出以為頂角的等腰(非直角三角形),點(diǎn)在格點(diǎn)上.請(qǐng)你直接寫(xiě)出的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在創(chuàng)客教育理念的指引下,國(guó)內(nèi)很多學(xué)校都紛紛建立創(chuàng)客實(shí)踐空及創(chuàng)客空間,致力于從小培養(yǎng)孩子的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力,某校開(kāi)設(shè)了“3D”打印、數(shù)學(xué)編程、智能機(jī)器人、陶藝制作“四門(mén)創(chuàng)客課程記為A、B、C、D,為了解學(xué)生對(duì)這四門(mén)創(chuàng)客課程的喜愛(ài)情況,數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成兩幅均不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息回答下列問(wèn)題
(1)統(tǒng)計(jì)表中的a= ,b= ;
(2)“陶藝制作”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為 ;
(3)學(xué)校為開(kāi)設(shè)這四門(mén)課程,需要對(duì)參加“3D”打印課程每個(gè)人投資200元,預(yù)計(jì)A、B、C、D四門(mén)課程每人投資比為4:3:6:5,求學(xué)校開(kāi)設(shè)創(chuàng)客課程需為學(xué)生人均投資多少錢(qián)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓O1,O2,O3,…組成一條平滑的曲線(xiàn).點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線(xiàn)向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度,則第15秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是( 。
A.(15,1)B.(15,﹣1)C.(30,1)D.(30,﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=kx-1(k>0)的圖象與一次函數(shù)圖象y=﹣x+4交于a、b兩點(diǎn),點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為3.
(1)求反比例函數(shù)的解析;
(2)y軸上是否存在一點(diǎn)P,使2∠APB=∠AOB?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,對(duì)稱(chēng)軸為x=1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),有下列結(jié)論:①abc<0;②a+c>b;③3a+c=0;④a+b>m(am+b)(其中m≠1)其中正確的結(jié)論有( )
A. 1個(gè)
B. 2個(gè)
C. 3個(gè)
D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BC向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),在兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,請(qǐng)回答:
(1)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間,△PBQ的面積是5cm2?
(2)請(qǐng)你利用配方法,求出經(jīng)過(guò)多少時(shí)間,四邊形APQC面積最?并求出這個(gè)最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校體育組為了解全校學(xué)生“最喜歡的一項(xiàng)球類(lèi)項(xiàng)目”,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有 人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中喜歡乒乓球的學(xué)生所占的百分比為 ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖(圖2),并估計(jì)全校500名學(xué)生中最喜歡“足球”項(xiàng)目的有多少人?
(3)籃球教練在制定訓(xùn)練計(jì)劃前,將從最喜歡籃球項(xiàng)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任選兩人進(jìn)行個(gè)別座談,請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖法求抽取的兩人恰好是甲和乙的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)(m≠0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于C點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(n,6),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣2,0),且tan∠ACO=2.
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
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