Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C. 點(diǎn)D(2，3)在該拋物線上，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是直線AD上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)F到直線AD距離最大時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，n)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是AM為邊的矩形.①求n的值；②若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）F（，）；（3）n=，T(0，-)或n=-，T(0，).

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求解即可；

（2）作FH⊥AD，過點(diǎn)F作FM⊥x軸，交AD與M，易知當(dāng)S△FAD最大時(shí)，點(diǎn)F到直線AD距離FH最大，求出直線AD的解析式，設(shè)F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，表示出△FAD的面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）分AP為對(duì)角線和AM為對(duì)角線兩種情況求解即可.

解：（1）∵拋物線x軸相交于點(diǎn)A（－1，0），B（3，0），

∴設(shè)該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y=a(x+1)(x－3)，

∵點(diǎn)D（2，3）在拋物線上，

∴3=a×(2+1) ×(2－3)，

∴3=－3a，

∴a=－1，

∴y=－(x+1)(x－3)，

即y=－x2+2x+3；

（2）如圖1，作FH⊥AD，過點(diǎn)F作FM⊥x軸，交AD與M，易知當(dāng)S△FAD最大時(shí)，點(diǎn)F到直線AD距離FH最大，

設(shè)直線AD為y=kx+b，

∵A(－1，0)，D(2，3)，

∴，

∴，

∴直線AD為y=x+1.

設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，則F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，

∵S△FAD= S△AMF+ S△DMF=MF(Dx-Ax)

= ×3（－t2+2t+3-t-1）=×3(－t2+t+2)

=－(t－)2+，

∴即當(dāng)t=時(shí)，S△FAD最大，

∵當(dāng)x=時(shí)，y=－()2+2×+3=，

∴F(，)；

（3）∵y=－x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴頂點(diǎn)M(1，4).

當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，如圖2，

設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)R，作PS⊥MR，

∵∠PMS+∠AMR=90°， ∠MAR+∠AMR=90°，

∴∠PMA=∠MAR，

∵∠PSM=∠ARM=90°，

∴△PMS∽△MAR，

∴，

∴，

∴MS=，

∴OP=RS=4+=，

∴n=；

延長(zhǎng)QA交y軸于T，

∵PM∥AQ，

∴∠MPO=∠OAM，

∵∠MPS+∠MPO=90°， ∠OAT+∠OAM=90°，

∴∠MPS=∠OAT.

又∵PS=OA=1，∠PSM=∠AOT=90°，

∴△PSM≌△AOT，

∴AT=PM=AQ，OT=MS=.

∵AM⊥AQ，

∴T和Q關(guān)于AM對(duì)稱，

∴T(0，-)；

當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，如圖3，

過A作SR⊥x軸，作PS⊥SR于S，作MR⊥SR于R，

∵∠RAM+∠SAP=90°， ∠SAP+∠SPA=90°，

∴∠RAM=∠SPA，

∵∠PSA=∠ARM=90°，

∴△PSA∽△ARM，

∴，

∴，

∴AS=，

∴OP=，

∴n=-；

延長(zhǎng)QM交y軸于T，

∵QM∥AP，

∴∠APT=∠MTP，

∵∠OAP+∠APT=90°， ∠GMT+∠MTP=90°，

∴∠OAP=∠GMT.

又∵GM=OA=1，∠AOP=∠MGT=90°，

∴△OAP≌△GMT，

∴MT=AP=MQ，GT=OP=.

∵AM⊥TQ，

∴T和Q關(guān)于AM對(duì)稱，

∵OT=4+=，

∴T(0，).

綜上可知，n=，T(0，-)或n=-，T(0，).