Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，邊AB的長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，連接BE，DF，EF，BD，若四邊形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，則邊BC的長(zhǎng)為( )

A. 2 B. 6 C. 3 D.

Answer 1

【答案】C

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因?yàn)樗倪呅蜝EDF是菱形，所以BE，AE可求出進(jìn)而可求出BC的長(zhǎng)．

解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四邊形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴AE=EO=CF=FO，
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，

在Rt△BAE中，設(shè)AE=x，則BE=2x，由勾股定理得，
∴AB2+AE2=BE2，即32+x2=（2x）2，

BE=2，

∴BF=BE=2，
∴CF=AE=，
∴BC=BF+CF=3，
故選C．

“點(diǎn)睛”本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及在直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊時(shí)斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°．