【題目】如圖,拋物線與軸交于A (-1,0),B (5,0)兩點(diǎn),直線與y軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).點(diǎn)是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若,求的值;
(3)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),是否存在點(diǎn),使點(diǎn)落在軸上?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=-x2+4x+5.(2)m=2或m=.(3)(-,),(4,5),(3-,2-3)
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF,然后列方程求解;
(3)解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形,然后根據(jù)PE=CE的條件,列出方程求解;當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí),P點(diǎn)y軸上,即可得到點(diǎn)P坐標(biāo).
試題解析:(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式,得:
,解得,
∴拋物線的解析式為:y=-x2+4x+5.
(2)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
∴P(m,-m2+4m+5),E(m,-m+3),F(xiàn)(m,0)
∴PE=|yP-yE|=|(-m2+4m+5)-(-m+3)|=|-m2+m+2|,
EF=|yE-yF|=|(-m+3)-0|=|-m+3|.
由題意,PE=5EF,即:|-m2+m+2|=5|-m+3|=|-m+15|
①若-m2+m+2=-m+15,整理得:2m2-17m+26=0,
解得:m=2或m=;
②若-m2+m+2=-(-m+15),整理得:m2-m-17=0,
解得:m=或m=.
由題意,m的取值范圍為:-1<m<5,故m=、m=這兩個(gè)解均舍去.
∴m=2或m=.
(3)假設(shè)存在.
作出示意圖如下:
∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對(duì)稱(chēng),
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y軸,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四邊形PECE′是菱形.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí),
由直線CD解析式y(tǒng)=-x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸,交y軸于點(diǎn)M,易得△CEM∽△CDO,
∴,即,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|-m2+m+2|
∴|-m2+m+2|=|m|.
①若-m2+m+2=m,整理得:2m2-7m-4=0,解得m=4或m=-;
②若-m2+m+2=-m,整理得:m2-6m-2=0,解得m1=3+,m2=3-.
由題意,m的取值范圍為:-1<m<5,故m=3+這個(gè)解舍去.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí),
此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,E,C,E'三點(diǎn)重合與y軸上,菱形不存在.
綜上所述,存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P,可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(-,),(4,5),(3-,2-3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:對(duì)于給定的一個(gè)二次函數(shù),其圖象沿x軸翻折后,得到的圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)稱(chēng)為原二次函數(shù)的橫翻函數(shù).
(1)直接寫(xiě)出二次函數(shù)y=2x2的橫翻函數(shù)的表達(dá)式.
(2)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3,1)、B(2,6).
①求b、c的值.
②求二次函數(shù)y=x2+bx+c的橫翻函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo).
③若將二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象位于A、B兩點(diǎn)間的部分(含A、B兩點(diǎn))記為G,則當(dāng)二次函數(shù)y=﹣x2﹣bx﹣c+m與G有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),直接寫(xiě)出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在線段AD及其延長(zhǎng)線上,且DE=DF.給出下列條件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC;
從中選擇一個(gè)條件使四邊形BECF是菱形,你認(rèn)為這個(gè)條件是 (只填寫(xiě)序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中,王剛同學(xué)觀察得出了下面四條信息:(1)b2﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0,其中錯(cuò)誤的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,菱形紙片,對(duì)其進(jìn)行如下操作:
把翻折,使得點(diǎn)與點(diǎn)重,折痕為;把翻折,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,折痕為 (如圖2),連結(jié).設(shè)兩條折痕的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).
(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中將圖形補(bǔ)充完整,并求的度數(shù);
(2)四邊形是菱形嗎?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,CD是弦,且CD⊥AB于點(diǎn)F,連接AD,過(guò)點(diǎn)B的直線與線段AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且∠E=∠ACF.
(1)若CD=2, AF=3,求⊙O的周長(zhǎng);
(2)求證:直線BE是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假設(shè),企業(yè)還貸款,應(yīng)每年一還,還本息,若第一年沒(méi)還,則第一年的本息作為第二年的貸款本金計(jì)算. 華泰公司和宜興公司是分別擁有96名和100名工人的小型企業(yè),為了緩解下崗人員再就業(yè)的社會(huì)問(wèn)題, 兩企業(yè)2017年1月都吸收了部分下崗人員,國(guó)家對(duì)吸收下崗人員的企業(yè)貸款給予優(yōu)惠,同時(shí)按季度(一年四個(gè)季度)給予企業(yè)補(bǔ)助,每季度補(bǔ)助費(fèi)為:貸款總數(shù)×(吸收再就業(yè)人數(shù)÷企業(yè)原有人數(shù))÷25 ,按兩年計(jì)。華泰公司吸收了12名下崗人員,得到兩年期的貸款和補(bǔ)助費(fèi)共62.4萬(wàn)元資金,宜興公司也吸收了12名下崗人員,但因貸款少,得到的補(bǔ)助費(fèi)比華泰公司的少20%,。
(1)2017年1月華泰公司得到的貸款是多少萬(wàn)元?
(2)2017年1月宜興公司得到的貸款是多少萬(wàn)元?
(3)假設(shè)兩公司第一年都沒(méi)還一分錢(qián)貸款和利息,而是兩年后2019年1月才還, 宜興公司歸還貸款及利息比華泰公司少12.1萬(wàn)元,求國(guó)家對(duì)吸收下崗人員的企業(yè)貸款年利率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)已知BD=2,CF=2,求AE和BG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過(guò)點(diǎn)(﹣1,0),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,下列結(jié)論:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點(diǎn)A(﹣3,y1)、點(diǎn)B(﹣,y2)、點(diǎn)C(,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<5<x2.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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