【題目】如圖1,菱形紙片,對其進行如下操作:
把翻折,使得點與點重,折痕為;把翻折,使得點與點重合,折痕為 (如圖2),連結.設兩條折痕的延長線交于點.
(1)請在圖2中將圖形補充完整,并求的度數;
(2)四邊形是菱形嗎?說明理由.
【答案】(1)見解析,;(2)四邊形是菱形,理由見解析
【解析】
(1)由菱形的性質可得AD=CD,∠A=∠C=45°,∠ADC=135°,由折疊的性質可得AE=DE=AD,GE⊥AD,∠A=∠GDA=45°,DF=FC=CD,HF⊥CD,∠C=∠CDH=45°,由四邊形的內角和定理可求解;
(2)由題意可證GE∥DH,GD∥HF,可證四邊形DGOH是平行四邊形,由“ASA”可證△DEG≌△DFH,可得DG=DH,即可證四邊形DGOH是菱形.
解:(1)如圖,延長EG,FH交于點O,
∵四邊形ABCD是菱形,∠A=45°,
∴AD=CD,∠A=∠C=45°,∠ADC=135°,
∵把△AEG翻折,使得點A與點D重合,折痕為EG;把△CFH翻折,使得點C與點D重合,折痕為FH,
∴AE=DE=AD,GE⊥AD,∠A=∠GDA=45°,DF=FC=CD,HF⊥CD,∠C=∠CDH=45°,
∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC=360°,
∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°;
(2)四邊形是菱形.理由如下:
∵∠ADC=135°,∠ADG=∠CDH=45°,
∴∠GDC=∠ADH=90°,且GE⊥AD,HF⊥CD,
∴GE∥DH,GD∥HF,
∴四邊形DGOH是平行四邊形,
∵AE=DE=AD,DF=FC=CD,AD=CD,
∴DE=DF,且∠ADG=∠CDH=45°,∠DEG=∠DFH=90°,
∴△DEG≌△DFH(ASA)
∴DG=DH,
∴四邊形DGOH是菱形.
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【題目】如圖,一艘輪船在位于燈塔P的北偏東30°方向,距離燈塔120海里的A處.輪船沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東64°方向上的B處.求輪船所在的B處與燈塔P的距離.(結果精確到0.1海里)(參考數據:sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05)
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【題目】如圖,四邊形OBCD中的三個頂點在⊙O上,點A是⊙O上的一個動點(不與點B、C、D重合).
(1)若點A在優(yōu)弧上,且圓心O在∠BAD的內部,已知∠BOD=120°,則∠OBA+∠ODA= °.
(2)若四邊形OBCD為平行四邊形.
①當圓心O在∠BAD的內部時,求∠OBA+∠ODA的度數;
②當圓心O在∠BAD的外部時,請畫出圖形并直接寫出∠OBA與∠ODA的數量關系.
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【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結論:①2a+b<0;②abc>0;③4a﹣2b+c>0;④a+c>0,其中正確結論的個數為( ).
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
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【題目】如圖,拋物線與軸交于A (-1,0),B (5,0)兩點,直線與y軸交于點,與軸交于點.點是x軸上方的拋物線上一動點,過點作⊥軸于點,交直線于點.設點的橫坐標為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若,求的值;
(3)若點是點關于直線的對稱點,是否存在點,使點落在軸上?若存在,請直接寫出相應的點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D,與直角邊AC相交于E、F兩點,連結DE,已知∠B=30°,⊙O的半徑為12,弧DE的長度為4π.
(1)求證:DE∥BC;
(2)若AF=CE,求線段BC的長度.
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【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過點E作EF∥AB交PQ于F,連接BF.
(1)求證:四邊形BFEP為菱形;
(2)當點E在AD邊上移動時,折痕的端點P、Q也隨之移動;
①當點Q與點C重合時(如圖2),求菱形BFEP的邊長;
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動,求出點E在邊AD上移動的最大距離.
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【題目】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據圖象解答下列問題:
(1)方程ax2+bx+c=0的兩個根為____________;
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集為________;
(3)y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍為________;
(4)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數根,則k的取值范圍為________.
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