【題目】在一個邊長為a(單位:cm)的正方形ABCD中,點E、M分別是線段AC,CD上的動點,連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點F,過點M作MN⊥DF于H,交AD于N.

(1)如圖1,當(dāng)點M與點C重合,求證:DF=MN;
(2)如圖2,假設(shè)點M從點C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD向點D運動,點E同時從點A出發(fā),以 cm/s速度沿AC向點C運動,運動時間為t(t>0);
①判斷命題“當(dāng)點F是邊AB中點時,則點M是邊CD的三等分點”的真假,并說明理由.
②連結(jié)FM、FN,△MNF能否為等腰三角形?若能,請寫出a,t之間的關(guān)系;若不能,請說明理由.

【答案】
(1)

證明:∵∠DNC+∠ADF=90°,∠DNC+∠DCN=90°,

∴∠ADF=∠DCN.

在△ADF與△DNC中,

∴△ADF≌△DNC(ASA),

∴DF=MN


(2)

解:①該命題是真命題.

理由如下:當(dāng)點F是邊AB中點時,則AF= AB= CD.

∵AB∥CD,∴△AFE∽△CDE,

∴AE= EC,則AE= AC= a,

∴t= = a.

則CM=1t= a= CD,

∴點M為邊CD的三等分點.

②能.理由如下:

易證△AFE∽△CDE,∴ ,即 ,得AF=

易證△MND∽△DFA,∴ ,即 ,得ND=t.

∴ND=CM=t,AN=DM=a﹣t.

若△MNF為等腰三角形,則可能有三種情形:

(Ⅰ)若FN=MN,則由AN=DM知△FAN≌△NDM,

∴AF=ND,即 =t,得t=0,不合題意.

∴此種情形不存在;

(Ⅱ)若FN=FM,由MN⊥DF知,HN=HM,∴DN=DM=MC,

∴t= a,此時點F與點B重合;

(Ⅲ)若FM=MN,顯然此時點F在BC邊上,如下圖所示:

由△CEF∽△AED,得 ,

= ,

∴CF= ,

由△DNM∽△CDF,得 =

= ,

∴DN=t=CM,

在Rt△MFC和△NMD中,

∴△MFC≌△NMD,∴FC=DM=a﹣t;

又由△NDM∽△DCF,∴ ,即 ,∴FC=

=a﹣t,

∴t=a,此時點F與點C重合.

綜上所述,當(dāng)t=a或t= a時,△MNF能夠成為等腰三角形


【解析】(1)證明△ADF≌△DNC,即可得到DF=MN;(2)①首先證明△AFE∽△CDE,利用比例式求出時間t= a,進(jìn)而得到CM= a= CD,所以該命題為真命題;②若△MNF為等腰三角形,則可能有三種情形,需要分類討論.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.

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∴DG∥AC(

∴∠2=

∵∠1=∠2(已知)

∴∠1=∠ (等量代換)

∴EF∥CD(

∴∠AEF=∠

∵EF⊥AB(已知)

∴∠AEF=90°(

∴∠ADC=90°(

∴CD⊥AB(

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