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神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX――3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T．

(1)可見星A所受暗星B的引力F_a可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；

(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，運(yùn)行周期T＝4.7 π×10⁴ s，質(zhì)量m₁＝6 m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎．(G＝6.67×10^－11 N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg)

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神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX－3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T．

(1)可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；

(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，運(yùn)行周期T＝4.7π×10⁴ s，質(zhì)量m₁＝6 m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G＝6.67×10^－11 N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³0 kg)

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一、選擇題

1、根據(jù)圖象分析：若沿x軸作勻速運(yùn)動(dòng)，通過圖1分析可知，y方向先減速后加速；若沿y軸方向作勻速運(yùn)動(dòng)，通過圖2分析可知，x方向先加速后減速。

答案：B

2、乙船能到達(dá)A點(diǎn)，則vcos60⁰=u，

過河時(shí)間t滿足：t = H/（ vsin60⁰）, 甲、乙兩船沿垂直于河岸方向的分速度相同，故過河時(shí)間相同。在t時(shí)間內(nèi)甲船沿河岸方向的位移為s= （vcos60⁰ + u ）t=。

答案：D

3、根據(jù)萬有引力定律：，得：T=

答案：A

4、質(zhì)點(diǎn)在A、B、C、D四點(diǎn)離開軌道，分別做下拋、平拋、上拋、平拋運(yùn)動(dòng)。很明顯，在A點(diǎn)離開軌道比在C、D兩點(diǎn)離開軌道在空間時(shí)間短。通過計(jì)算在A點(diǎn)下拋落地時(shí)間為t_A=（6-4）s，在B點(diǎn)平拋落地時(shí)間t_B=4s，顯然，在A點(diǎn)離開軌道后在空中時(shí)間最短。根據(jù)機(jī)械能守恒，在D剛拋出時(shí)機(jī)械能最大，所以落地時(shí)速度最大。

答案：AD

5、在軌道上向其運(yùn)行方向彈射一個(gè)物體，由于質(zhì)量遠(yuǎn)小于空間站的質(zhì)量，空間站仍沿原方向運(yùn)動(dòng)。根據(jù)動(dòng)量守恒，彈出后一瞬間，空間站沿原運(yùn)行方向的速度變小，提供的向心力（萬有引力）大于需要的向心力，軌道半徑減小，高度降低，在較低的軌道上運(yùn)行速率變大，周期變小。

答案：C

6、當(dāng)懸線在豎直狀態(tài)與釘相碰時(shí)根據(jù)能量守恒可知，小球速度不變；但圓周運(yùn)動(dòng)的半徑減小，需要的向心力變大，向心加速度變大，繩子上的拉力變大。

答案：BD

7、根據(jù)萬有引力定律：可得：M=,可求出恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比，根據(jù)可得：v=,可求出行星運(yùn)行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比。

答案：AD

8、衛(wèi)星仍圍繞地球運(yùn)行，所以發(fā)射速度小11.2km/s；最大環(huán)繞速度為7.9km/s，所以在軌道Ⅱ上的速度小于7.9km/s；根據(jù)機(jī)械能守恒可知：衛(wèi)星在P點(diǎn)的速度大于在Q點(diǎn)的速度；衛(wèi)星在軌道Ⅰ的Q點(diǎn)是提供的向心力大于需要的向心力，在軌道Ⅱ上Q點(diǎn)是提供的向心力等于需要的向心力，所以在Q點(diǎn)從軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ必須增大速度。

答案：CD

9、同步衛(wèi)星隨地球自轉(zhuǎn)的方向是從東向西，把同步衛(wèi)星從赤道上空3.6萬千米、東經(jīng)103°處，調(diào)整到104°處，相對(duì)于地球沿前進(jìn)方向移動(dòng)位置，需要增大相對(duì)速度，所以應(yīng)先下降高度增大速度到某一位置再上升到原來的高度。

答案：A

10、開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)向心力由靜摩擦力提供，但根據(jù)F=mrω²可知，B需要的向心力是A的兩倍。所以隨著轉(zhuǎn)速增大，B的摩擦力首先達(dá)到最大靜摩擦力。繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速，繩子的張力增大，B的向心力由最大靜摩擦力提供，A的向心力由靜摩擦力和繩子的張力的合力提供，隨著轉(zhuǎn)速的增大，B需要的向心力的增量（繩子張力的增量）比A需要的向心力的增量大，因而A指向圓心的摩擦力逐漸減小直到為0然后反向增大到最大靜摩擦力。所以，B受到的靜摩擦力先增大，后保持不變；A受到的靜摩擦力是先減小后增大；A受到的合外力就是向心力一直在增大。

答案：BD

二、填空題

11、圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角速度的表達(dá)式為ω= ，  T為電磁打點(diǎn)計(jì)的時(shí)器打點(diǎn)的時(shí)間間隔，r為圓盤的半徑，x₂、x₁是紙帶上選定的兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)米尺上的刻度值，n為選定的兩點(diǎn)間的打點(diǎn)數(shù)（含兩點(diǎn)）。地紙帶上選取兩點(diǎn)（間隔盡可能大些）代入上式可求得ω= 6.8rad/s。

12、 (1)斜槽末端切線方向保持水平；從同一高度。

（2）設(shè)時(shí)間間隔為t, x = v₀t，   y₂-y₁=gt² ，解得: v₀=.將x=20.00cm，y₁ =4.70cm， y₂ =14.50cm代入求得v₀=2m/s

三、計(jì)算題

13．解：⑴在行星表面，質(zhì)量為m的物體的重力近似等于其受到的萬有引力，則

g=                               

得：   

⑵行星表面的環(huán)繞速度即為第一宇宙速度，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是萬有引力提供的，則

v₁=　　　　　　　　　           

得：　

14．解析：用r表示飛船圓軌道半徑,有r =R +H=6.71×l0⁶ m．

由萬有引力定律和牛頓定律，得 , 式中M表示地球質(zhì)量，m表示飛船質(zhì)量，T表示飛船繞地球運(yùn)行的周期，G表示萬有引力常量．

利用及上式, 得 ，代入數(shù)值解得T=5.28×10³s,

出艙活動(dòng)時(shí)間t=25min23s=1523s, 航天員繞行地球角度 =104⁰

15．解：（1）這位同學(xué)對(duì)過程的分析錯(cuò)誤，物塊先沿著圓柱面加速下滑，然后離開圓柱面做斜下拋運(yùn)動(dòng)，離開圓柱面時(shí)的速率不等于。                   

（2）a、設(shè)物塊離開圓柱面時(shí)的速率為,

解得：                      

（2）b、由：  得：

落地時(shí)的速率為                       

16.解：對(duì)子彈和木塊應(yīng)用動(dòng)量守恒定律：

      所以                                  

對(duì)子彈、木塊由水平軌道到最高點(diǎn)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，

取水平面為零勢(shì)能面：有

   所以                        

由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：                          

解得:                   

所以，當(dāng)R = 0.2m時(shí)水平距離最大                

最大值S_max = 0.8m。

17．解：（1）

（2）設(shè)人在B₁位置剛好看見衛(wèi)星出現(xiàn)在A₁位置，最后

在B₂位置看到衛(wèi)星從A₂位置消失，

    OA₁=2OB₁

有  ∠A₁OB₁=∠A₂OB₂=π/3

從B₁到B₂時(shí)間為t

則有   

18．解: （1）設(shè) A、B的圓軌道半徑分別為、，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速 度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

設(shè) A、B之間的距離為，又，由上述各式得

，                               ①

由萬有引力定律，有

將①代入得

令

比較可得

                                                   ②

（2）由牛頓第二定律，有

                                                   ③

又可見星 A的軌道半徑

                                                                ④

由②③④式解得

                                               ⑤

（3）將代入⑤式，得

代入數(shù)據(jù)得

                                            ⑥

，將其代入⑥式得

                                    ⑦

可見，的值隨 n的增大而增大，試令，得

                                           ⑧

若使⑦式成立，則 n 必大于 2，即暗星 B 的質(zhì)量必大于，由此得出結(jié)

論：暗星有可能是黑洞。