湖北省襄樊市2009年3月高三調(diào)研統(tǒng)一測試

數(shù) 學(xué)(文科)

命題人：襄樊市教研室  郭仁俊　　審定人：襄樊四中　尹春明

本試卷共4頁，全卷滿分150分．考試時間120分鐘。

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注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考號填寫在答題卷密封線內(nèi)，將考號最后兩位填在答題卷右下方座位號內(nèi)，同時把機(jī)讀卡上的項(xiàng)目填涂清楚，并認(rèn)真閱讀答題卷和機(jī)讀卡上的注意事項(xiàng)。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。答在試題卷上無效。

3．將填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卷上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無效。

4．考試結(jié)束后，請將機(jī)讀卡和答題卷一并上交．

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)

1.     設(shè)全集U = {1，3，5，7}，M = {1，a－5}，∁U M = {5，7}，則實(shí)數(shù)a的值為
A．－2                           B．2                          C．－8                     D．8

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2.     已知向量a = (1，n)，b = (－1，n)，若a與b垂直，則| a |等于
A．1                              B．2                          C．                    D．4

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3.     已知函數(shù)，則的值是
A．                          B．                        C．－9                     D．9

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4.     已知函數(shù)的最小正周期為,則該函數(shù)圖象
A．關(guān)于直線對稱                                   B．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱
C．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱                                    D．關(guān)于直線對稱

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5.     對于平面和直線m、n，給出下列命題：
①若，則m、n與所成的角相等；②若，，則；
③若，，則；④若m與n是異面直線，且，則n與相交．
其中真命題的個數(shù)是
A．1                              B．2                          C．3                        D．4

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6.     設(shè)奇函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為
                                      A．(－1，0)∪(1，＋∞)                               B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)                             D．(－1，0)∪(0，1)

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7.     袋中有40個小球，其中紅色球16個，藍(lán)色球12個，白色球8個，黃色球4個，從中隨機(jī)抽取10個球作成一個樣本，則這個樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為
A．            B．        C．      D．

 

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8.     如圖，直線MN與雙曲線的左右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，與雙曲線的右準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若|FM| = 2|FN|，，則實(shí)數(shù)的取值為
A．                            B．1
C．2                              D．

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9.     設(shè)P表示平面圖形，m(P)是P表示的圖形面積．已知，，且，則下列恒成立的是
A．         B．     C．    D．

 

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10.     已知圖一中的圖像對應(yīng)的函數(shù)為，則圖二中的圖像對應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四式中，只可能是
A．              B．             C．          D．

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二．填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卷相應(yīng)位置上。)

11.     過點(diǎn)A(2，－3)，且與向量m = (4，－3)垂直的直線方程是　   　．

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12.     從1到100的正整數(shù)中刪去所有2的倍數(shù)及3的倍數(shù)后，剩下數(shù)有　   　個．

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13.     已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于　   　．

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14.     假設(shè)甲、乙、丙三鎮(zhèn)兩兩之間的距離皆為20公里，兩條筆直的公路交于丁鎮(zhèn)，其中一條通過甲、乙兩鎮(zhèn)，另一條通過丙鎮(zhèn)．今在一比例精確的地圖上量得兩公路的夾角為45°，則丙、丁兩鎮(zhèn)間的距離為　   　公里．

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15.     已知是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，，那么在區(qū)間[－1，3]內(nèi)，關(guān)于x的方程 (k∈R，k≠1)有4個根，則k的取值范圍為　   　．

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三．解答題(本大題共6小題，滿分75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。)

16.     (本大題滿分12分)
某校高三文科分為四個班，高三數(shù)學(xué)調(diào)研測試后，隨機(jī)地在各班抽取部分學(xué)生進(jìn)行測試成績統(tǒng)計(jì)，各班被抽取的學(xué)生人數(shù)恰好成等差數(shù)列，人數(shù)最少的班被抽取了22人．抽取出來的所有學(xué)生的測試成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率分布條形圖如圖所示，其中120~130 (包括120分但不包括130分)的頻率為0.05，此分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為5人．
(1)各班被抽取的學(xué)生人數(shù)各為多少人?
(2)在抽取的所有學(xué)生中，任取一名學(xué)生，求分?jǐn)?shù)不小于90分的概率．







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17.     (本大題滿分12分)
已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)、C()，．
(1)若，求角的值；學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)
(2)若，求的值．

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18.     (本大題滿分12分)
在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC = CD = 1．
(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大��；
(3)若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求線段AB的長度．





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19.      (本大題滿分12分)
已知點(diǎn)A(－1，0)、B(1，0)和動點(diǎn)M滿足：，且，動點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過點(diǎn)B的直線交C于P、Q兩點(diǎn)．
(1)求曲線C的方程；
(2)求△APQ面積的最大值．



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20.     (本大題滿分13分)
己知a≠0，函數(shù)，二次函數(shù)．
(1)若a < 0，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)函數(shù)存在最大值且與的圖象只有一個公共點(diǎn)時，記的最大值為，求函數(shù)的解析式；
(3)若函數(shù)與在區(qū)間(a－2，a)內(nèi)均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．



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21.     (本大題滿分14分)
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是二項(xiàng)式展開式中含x奇次冪的系數(shù)和．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，，求的值．

 

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一．選擇題：DCBBA  DACCA

二．填空題：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．　　14．　　15．

三．解答題：

16．(1)解：由頻率分布條形圖知，抽取的學(xué)生總數(shù)為人                            4分
∵各班被抽取的學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d
由4×22＋6d = 100解得：d = 2                                                                              6分
∴各班被抽取的學(xué)生人數(shù)分別是22人，24人，26人，28人．                                 8分
(2)解：在抽取的學(xué)生中，任取一名學(xué)生，分?jǐn)?shù)不小于90分的概率為
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75                                                                                        12分

17．(1)解：∵，                                  2分
∴由得：，即              4分
又∵，∴                                                                                    6分

(2)解：                                    8分
由得：，即          10分
兩邊平方得：，∴                                                                        12分

18．方法一

(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC                                                      2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分

(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角          6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45°              8分

(3)解：過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連結(jié)DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角           10分
設(shè)AB = a，在Rt△BHD中，，
∴，                                                                                    10分
解得：，即線段AB的長度為1                                                                           12分

方法二
(1)同方法一                                                                                                               4分
(2)解：設(shè)以過B點(diǎn)且∥CD的向量為x軸，為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
設(shè)平面ABD的一個法向量為n = (x，y，z)，則

取n = (1，－1，0)                           6分

∴二面角C－AB－D的大小為45°                                                                           8分

(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
設(shè)平面ACD的一個法向量是m = (x，y，z)，則
∴取m = (0，a，1)，由直線BD與平面ACD所成角為30°，故向量、m的夾角為60°
故                                                                               10分
解得：，即線段AB的長度為1                                                                           12分

19．(1)解：設(shè)M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即                        2分
因此點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，a = 2，c = 1
∴曲線C的方程為．                                                                                4分

(2)解法一：設(shè)直線PQ方程為 (∈R)
由 得：                                                            6分
顯然，方程①的，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有

                                                           8分
令，則t≥4，                10分
當(dāng)時有最大值9，故，即S≤3，∴△APQ的最大值為3               12分

解法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，易知S = 3
設(shè)直線PQ方程為
由  得：  ①                                         6分
顯然，方程①的△＞0，則
∴                                    8分
                                10分
令，則
∴，即S＜3

∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分

20．(1)解：
∵a＜0，∴
故函數(shù)f (x)在區(qū)間(－∞，)、(－a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(，－a)上單調(diào)遞減    4分

(2)解：∵二次函數(shù)有最大值，∴a＜0                                              5分
由得：                                                                           6分
∵函數(shù)與的圖象只有一個公共點(diǎn)，
∴，又a＜0，∴－1≤a＜0                                                 8分
又，∴　(－1≤a＜0)                                  10分

(3)解：當(dāng)a < 0時，函數(shù)f (x)在區(qū)間(－∞，)、(－a，＋∞)上單調(diào)遞增，
函數(shù)g (x)在區(qū)間(－∞，)上單調(diào)遞增

∴                                                                                            12分
當(dāng)a > 0時，函數(shù)f (x)在區(qū)間(－∞，－a)、(，＋∞)上單調(diào)遞增，
函數(shù)g (x)在區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增
∴
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，]∪[3，＋∞)                                        13分

21．(1)解：記
令x = 1得：
令x =－1得：
兩式相減得：，∴                                    4分
當(dāng)n≥2時，
當(dāng)n = 1時，，適合上式
∴                                                                                                6分

(2)解：
注意到                               8分
可改寫為：

∴
故                                                                                                               10分
∴
           12分
                                                                                              14分

 

 

 


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