Question

20．如圖所示，豎直平面內豎直方向的直線a、b寬度為d，直線a、b之間有方向水平向右電場強度為E的勻強電場，直線b的右側有豎直向上電場強度大小仍為E的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場．令有質量為m的帶正電微粒從直線a上的A點以某一速度豎直向上運動，當它到達直線b上時，速度變?yōu)樗�平方向，且大小與A點的速度大小相同，豎直方向的位移為d，然后進入直線b右側的電磁場區(qū)域運動，又從距離A豎直高度為2d的位置再次進入直線a、b之間運動，重力加速度為g，直線b右側的電磁場區(qū)域非常寬．求：
（1）微粒的電荷量q和在A點的速度大小v₀；
（2）磁感應強度B的大小和小球從A點出發(fā)再次回到直線a的時間；
（3）小球在第n次在電磁場中運動軌跡圓的弦長L．

Answer 1

分析 （1）將微粒在電場中的運動分解成水平方向與豎直方向，根據(jù)動能定理判斷出電場力的大小與重力大小的關系；根據(jù)動能定理求出微粒的初速度；
（2）微粒在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由此求出磁感應強度；再由洛倫茲力提供向心力求出微粒在磁場中運動的時間；分方向使用動量定理求出微粒在電場中運動的時間，然后求出總時間；
（3）分析微粒第二次在電場中運動的軌跡，求出第二次進入磁場時的速度以及速度的方向，畫出微粒在磁場中的運動軌跡，判斷出粒子運動的出射點，從而求出弦長；同理分析微粒第三次在電場中運動的情況和第三次在磁場中運動的情況，依據(jù)數(shù)學歸納法即可做出判斷．

解答 解：（1）由題，微粒第一次在電場中運動時，豎直方向：
$-2gd=0-{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gd}$
水平方向：$2ad={v}_{0}^{2}-0$
所以：a=g
而水平方向：ma=qE
聯(lián)立得：q=$\frac{mg}{E}$
（2）微粒在b右側的復合場中運動時，由于qE=mg，即電場力與重力大小相等，方向向上，所以微粒受到的電場力與重力的合力始終等于0．微粒受到的洛倫茲力始終與速度的方向垂直，所以微粒在復合場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，得：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
其中：2r=2d-d=d
所以：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$=$\frac{2m\sqrt{2gd}}{qd}$
微粒垂直于b進入復合場，由運動的特點可知，微粒在復合場中運動的時間是半個周期，所以：
${t}_{2}=\frac{1}{2}T$
微粒做勻速圓周運動時：$q{v}_{0}B=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：$T=\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{q}•\frac{qd}{2m\sqrt{2gd}}$=$\frac{π\(zhòng)sqrt{2gd}}{2g}$
微粒從A到b的過程中，-mgt₁=0-mv₀
所以：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{g}$=$\frac{\sqrt{2gd}}{g}$
微粒車復合場中射出后的速度也是v₀，沿電場線的方向返回a的時間：-qEt₃=0-mv₀
聯(lián)立得：${t}_{3}={t}_{1}=\frac{\sqrt{2gd}}{g}$
所以小球從A點出發(fā)再次回到直線a的時間：
t=t₁+t₂+t₃
聯(lián)立得：t=$\frac{（8+π）\sqrt{2gd}}{4g}$
（3）微粒回到a時沿水平方向的分速度是0，結合運動的對稱性可知微粒第三次到達b再使用的時間：
t₄=t₁=t₃
微粒在第二次到達b至第三次到達b的過程中豎直方向的位移：y=$\frac{1}{2}g（{t}_{3}+{t}_{4}）^{2}$
聯(lián)立可得：y=4d
此時微粒沿水平方向的分速度仍然是v₀，而豎直方向的分速度：
v_3y=g（t₃+t₄）
聯(lián)立可得：v_3y=2v₀
微粒的速度：${v}_{3}=\sqrt{{v}_{0}^{2}}+{v}_{3y}^{2}=\sqrt{5}{v}_{0}$
設此時微粒在豎直方向的夾角為θ，則：sinθ=$\frac{{v}_{0}}{v}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
畫出微粒在磁場中運動的圓軌跡如圖：

微粒在磁場中運動的半徑：${r}_{3}=\frac{m•\sqrt{5}{v}_{0}}{qB}=\sqrt{5}r$
此時圓與b的弦長：l=2r₃sinθ=2r=d
根據(jù)運動的對稱性可知，微粒再次從復合場中出來時，沿水平方向的速度仍然是v₀，沿豎直方向的速度仍然是2v₀，結合前面的分析可知，微粒從第四次到達b到第五次到達b的時間與第二次到達b后第三次到達b的時間是相等的，微粒到達b后，沿水平方向的分速度仍然是v₀，無論豎直方向的分速度是多大，設到達b的速度是v，則微粒的速度與豎直方向之間的夾角為β，則：sinβ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{n}}$
微粒運動的半徑：${r}_{n}=\frac{m{v}_{n}}{qB}$
微粒在電磁場中運動軌跡圓的弦長：L=2r_n•sinβ=$2×\frac{m{v}_{n}}{qB}•\frac{{v}_{0}}{{v}_{n}}=2•\frac{m{v}_{0}}{qB}$=d
可知微粒在電磁場中運動軌跡圓的弦長始終是d．
答：（1）微粒的電荷量q是$\frac{mg}{E}$，在A點的速度大小是$\sqrt{2gd}$；
（2）磁感應強度B的大小是$\frac{2m\sqrt{2gd}}{qd}$，小球從A點出發(fā)再次回到直線a的時間是$\frac{（8+π）\sqrt{2gd}}{4g}$；
（3）小球在第n次在電磁場中運動軌跡圓的弦長L是d．

點評 本題考查帶電粒子在復合場中的運動，要注意當粒子在復合場中做勻速圓周運動時，粒子受到的電場力與重力平衡．