Question

13．輕彈簧原長為2L，將彈簧豎直的放在水平地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止時(shí)放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長度為L，且彈簧的形變在彈性限度內(nèi)．現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，C點(diǎn)與圓弧的圓心在同一水平高度，如圖所示．物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長度L，然后放開P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g．
（1）彈簧壓縮至長度L時(shí)的彈性勢能E_P；
（2）若P能沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)D，求P的質(zhì)量m₀的取值范圍；
（3）若P能滑上圓弧軌道恰好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，求P的質(zhì)量M及在AB面上運(yùn)動(dòng)的路程S．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能；
（2）在D點(diǎn)，彈力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；再對從P到D過程根據(jù)能量守恒定律列式求解；
（3）對從P到C點(diǎn)過程根據(jù)能量守恒定律列式求解P的質(zhì)量M，再對運(yùn)動(dòng)全程根據(jù)功能關(guān)系列式求解在AB面上運(yùn)動(dòng)的路程S．

解答 解：（1）將彈簧豎直放置在地面上，物體下落壓縮彈簧時(shí)，長度被壓縮了L時(shí)，物體的動(dòng)能為零，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：E_p=5mgL；
（2）P能沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)D，設(shè)P的質(zhì)量為m₀，在D點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_D，軌道對P的壓力大小為N，則在D點(diǎn)有：N+m₀g=m₀$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$，
因?yàn)镹≥0，從釋放點(diǎn)到D點(diǎn)，由能量守恒定律，有：
E_p=$μ{m}_{0}g•4L+\frac{1}{2}{m}_{0}{v}_{D}^{2}+{m}_{0}g•2L$    
解得：m₀≤$\frac{10}{9}$m；
（3）若P能滑上圓弧軌道恰好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度為零，根據(jù)能量守恒定律：E_p=μMg•4L+MgL，
解得：M=$\frac{5}{3}m$，
從C點(diǎn)返回至AB面，假設(shè)在P碰到彈簧之前就停下，此處距B點(diǎn)的距離為x，則：
MgL-μMgx=0，
解得：x=2L，
可見返回過程中P與彈簧沒有接觸，則：
S=x+4L=6L；
答：（1）彈簧壓縮至長度L時(shí)的彈性勢能E_P為5mgL；
（2）若P能沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)D，P的質(zhì)量m₀的取值范圍為m₀≤$\frac{10}{9}$m；
（3）若P能滑上圓弧軌道恰好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，P的質(zhì)量M為$\frac{5}{3}m$，在AB面上運(yùn)動(dòng)的路程S為6L．

點(diǎn)評 解決本題時(shí)要抓住彈簧的形變量相等時(shí)彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，分段運(yùn)用能量守恒定律列式是關(guān)鍵．