Question

16．如圖所示，光滑水平面上固定豎直擋板MN，放有長木板P，P左端與MN間距離為d，P 右端放置小物塊K，P、K的質(zhì)量均為m，P與K間的 動摩擦因數(shù)為μ．現(xiàn)給小物塊K持續(xù)施加水平向左的 恒定外力，其大小等于P與K間的滑動摩擦力的二分之一，P、K一起向左運(yùn)動，直到P與豎直擋板MN相 碰，碰撞的時(shí)間極短，碰撞前后瞬間P的速度大小相等，方向相反，小物塊K始終在長木板P上．重力加速度為g．
（1）經(jīng)過多長時(shí)間長木板P與豎直擋板MN發(fā)生第一次碰撞；
（2）從外力作用在小物塊K到長木板P第一次與豎直擋板MN碰撞后向右運(yùn)動到最遠(yuǎn)的過程，求P、K間因摩擦產(chǎn)生的熱量；
（3）為使小物塊K不與豎直擋板MN碰撞，求木板P長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）碰撞前，P、K一起向左勻加速運(yùn)動，對整體，由牛頓第二定律求得加速度，再由位移公式求得時(shí)間．
（2）P、K間因摩擦產(chǎn)生的熱量等于摩擦力大小和相對位移大小的乘積，P與豎直擋板MN發(fā)生第一碰撞后，根據(jù)牛頓第二定律求出兩者的加速度，由運(yùn)動學(xué)位移公式求出兩者相對于地面的位移，得到相對位移，即可求熱量．
（3）小物塊K對地面向左做勻加速運(yùn)動、向左做勻減運(yùn)動，如此交替進(jìn)行，始終向左運(yùn)動，對木板P相對靜止、相對滑動；木板P與豎直擋板MN碰撞后先向右勻減速運(yùn)動，后向左勻加速運(yùn)動再與小物塊相對靜止的勻加速運(yùn)動，與豎直擋板MN碰撞，與豎直擋板MN碰撞前的速度一次比一次小，最后，當(dāng)P、K與豎直擋板碰撞前速度均為零，由于F=$\frac{1}{2}$μmg，小物塊將不再運(yùn)動，若K剛好達(dá)到長木板P的左端，此種情況木板P的長度最�。畬�P、K，整個(gè)運(yùn)動過程，運(yùn)用能量守恒定律求解．

解答 解：（1）P、K一起向左勻加速運(yùn)動時(shí)，設(shè)加速度為a，經(jīng)過t時(shí)間長木板P與豎直擋板MN發(fā)生第一次碰撞．
對整體，由牛頓第二定律得：
   F=2ma
據(jù)題 F=$\frac{1}{2}$μmg
可得 a=$\frac{1}{4}$μg
由d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得 t=2$\sqrt{\frac{2d}{μg}}$
（2）設(shè)P與豎直擋板MN發(fā)生第一碰撞前的速度大小為v₁，則 v₁=at
之后，P向右以v₁為初速度勻減速運(yùn)動，設(shè)加速度大小為a₁，經(jīng)過時(shí)間t₁速度減為零，通過的距離為x₁，向右運(yùn)動到最遠(yuǎn)；K向左v₁為初速度勻減速運(yùn)動，設(shè)加速度大小為a₂，經(jīng)過時(shí)間t₁通過的距離為x₂，則由牛頓第二定律有：
    μmg=ma₁；
   μmg-F=ma₂；
由運(yùn)動學(xué)公式有：
   v₁=a₁t₁；
   x₁=$\frac{{v}_{1}{t}_{1}}{2}$
 x₂=v₁t₁-$\frac{1}{2}$a₂t₁²；
解得：v₁=$\sqrt{\frac{μgd}{2}}$，a₁=μg，a₂=$\frac{1}{2}$μg，t₁=$\sqrt{\frac6iks2q2{2μg}}$，x₁=$\frac{1}{4}$d，x₂=$\frac{3}{8}$d
設(shè)在時(shí)間t₁內(nèi)，K在P上滑動的距離為x，P、K間因摩擦產(chǎn)生的熱量為Q，則
   x=x₁+x₂．
  Q=μmgx
解得 Q=$\frac{5}{8}$μmgd
（3）小物塊K對地面向左做勻加速運(yùn)動、向左做勻減運(yùn)動，如此交替進(jìn)行，始終向左運(yùn)動，對木板P相對靜止、相對滑動；木板P與豎直擋板MN碰撞后先向右勻減速運(yùn)動，后向左勻加速運(yùn)動再與小物塊相對靜止的勻加速運(yùn)動，與豎直擋板MN碰撞，與豎直擋板MN碰撞前的速度一次比一次小，最后，當(dāng)P、K與豎直擋板碰撞前速度均為零，由于F=$\frac{1}{2}$μmg，小物塊將不再運(yùn)動，若K剛好達(dá)到長木板P的左端，此種情況木板P的長度最�。�
對P、K，整個(gè)運(yùn)動過程，由能量守恒定律得
     F（d+L）=μmgL
解得 L=d
答：
（1）經(jīng)過2$\sqrt{\frac{2d}{μg}}$時(shí)間長木板P與豎直擋板MN發(fā)生第一次碰撞；
（2）P、K間因摩擦產(chǎn)生的熱量是$\frac{5}{8}$μmgd；
（3）木板P長度的最小值是d．

點(diǎn)評 理清兩個(gè)物體的運(yùn)動情況是解題的關(guān)鍵，要知道摩擦生熱與相對位移有關(guān)．對于第二問題，也可以根據(jù)動能定理求出兩者對地的位移．