Question

10．如圖所示，將一質(zhì)量為m的小環(huán)套在一半徑為R的“半圓形”金屬軌道上，并將軌道固定在豎直面內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，直徑AB與豎直半徑OD夾角為60°．現(xiàn)將兩根原長(zhǎng)為R、勁度系數(shù)k=$\frac{mg}{R}$的彈性輕繩一端固定在小環(huán)上，另一端分別固定在A、B兩點(diǎn)．已知彈性輕繩滿足胡克定律，不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g．將小環(huán)由A點(diǎn)正下方的C點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到金屬軌道的最低點(diǎn)D時(shí)，求：
（1）小環(huán)的速率v；
（2）金屬軌道對(duì)小環(huán)的作用力F的大小．

Answer 1

分析 （1）對(duì)CD過(guò)程分析，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得小環(huán)的速率v；
（2）由胡克定律求解AD段繩上的張力，再根據(jù)向心力公式進(jìn)行分析即可明確小球受到的作用力大小．

解答 解：（1）在CD兩點(diǎn)，彈性繩的彈性勢(shì)能相等，由機(jī)械能守恒定律可得：
mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²
得v=$\sqrt{gR}$；
（2）在D點(diǎn)，AD段彈性繩的伸長(zhǎng)量x=（$\sqrt{3}$-1）R，BD段彈性繩彈力為0，
所以AD段彈性繩張力T=kx=$\frac{mg}{R}$（$\sqrt{3}$-1）R=（$\sqrt{3}$-1）mg
在D點(diǎn)時(shí)，設(shè)導(dǎo)軌對(duì)圓環(huán)的作用力F是向上的支持力
由向心力公式可知：
（$\sqrt{3}$-1）mgcos30°+F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$mg．
答：（1）小環(huán)的速率v為$\sqrt{gR}$；
（2）金屬軌道對(duì)小環(huán)的作用力F的大小為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$mg．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律以及向心力公式的應(yīng)用，要注意正確分析過(guò)程，并能正確進(jìn)行受力分析，能正確利用向心力公式列式即可求解．