Question

3．如圖所示，線圈焊接車(chē)間的傳送帶不停地傳送邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為4kg，電阻為5Ω的正方形單匝金屬線圈，線圈與傳送帶之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．傳送帶總長(zhǎng)8L，與水平面的夾角為θ=30°，始終以恒定速度2m/s勻速運(yùn)動(dòng)．在傳送帶的左端虛線位置將線圈無(wú)初速地放到傳送帶上，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，線圈達(dá)到與傳送帶相同的速度，線圈運(yùn)動(dòng)到傳送帶右端掉入材料筐中（圖中材料筐未畫(huà)出）．已知當(dāng)一個(gè)線圈剛好開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，下一個(gè)線圈恰好放到傳送帶上．線圈勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，相鄰兩個(gè)線圈的間隔為L(zhǎng)．線圈運(yùn)動(dòng)到傳送帶中點(diǎn)開(kāi)始以速度2m/s 通過(guò)一固定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為5T、磁場(chǎng)方向垂直傳送帶向上，勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾扰c傳送帶相同，沿傳送帶運(yùn)動(dòng)方向的長(zhǎng)度為3L．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）正方形線圈的邊長(zhǎng)L；
（2）每個(gè)線圈通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域產(chǎn)生的熱量Q；
（3）在一個(gè)線圈通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程，電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做功的功率P．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律列式求解線框的加速度；根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解線框的相對(duì)位移；然后聯(lián)立方程組求解；
（2）線框在進(jìn)入和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)有感應(yīng)電流，根據(jù)切割公式、歐姆定律、焦耳定律列式求解即可；
（3）某一導(dǎo)線框穿過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程，皮帶上有多個(gè)線圈，分析機(jī)械能增加量、內(nèi)能增加量，然后求和．

解答 解：（1）每個(gè)線圈從投放到相對(duì)傳送帶靜止，運(yùn)動(dòng)的距離是一樣的．
設(shè)投放時(shí)間間隔為T(mén)，則v-t圖如圖所示．
在T時(shí)間內(nèi)，傳送帶位移為x_傳=v•T，
線圈加速過(guò)程位移為x_線=$\frac{v}{2}$•T
可得2L=v•T
其中v=a•T
線圈加速過(guò)程：
由f_滑-mgsinθ=ma
其中：f_滑=μmgcosθ
代入數(shù)據(jù)，可解得：a=2.5m/s；T=0.8s；L=0.8m
線圈勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，相鄰兩個(gè)線圈的間隔為L(zhǎng)與線圈的邊長(zhǎng)相等，
由圖可以看出線圈的邊長(zhǎng)與線圈加速過(guò)程走過(guò)的距離相同，所以線圈的邊長(zhǎng)為0.8m．
（2）每個(gè)線圈穿過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中有電流的運(yùn)動(dòng)距離為2L，
t_穿=$\frac{2L}{v}$；
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，E=BLv；   
由功率表達(dá)式，P=$\frac{{E}^{2}}{R}$
產(chǎn)生熱量Q=P•t_穿=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$•$\frac{2L}{v}$=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
解得Q=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$=10.24J              
（3）在一個(gè)線圈通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程：傳送帶運(yùn)動(dòng)距離4L，所用時(shí)間t_穿=$\frac{2L}{v}$=1.6s
一個(gè)線圈加速過(guò)程摩擦產(chǎn)生的熱為Q_摩擦=f_滑•x_相對(duì)=μmgcosθ•$\frac{v}{2}$•T=24J
一個(gè)線圈加速過(guò)程獲得動(dòng)能△E_k=$\frac{1}{2}$mv²=8J
一個(gè)線圈通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中焦耳熱Q_焦耳=10.24J
一個(gè)線圈運(yùn)動(dòng)一個(gè)L距離重力勢(shì)能增加△E_p=Lmgsinθ=16J
在一個(gè)線圈通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做功的功率P
有W=2Q_摩擦+2×△E_k+2Q_焦耳+15×△E_p=P•t_穿
代入以上各式，得P=202.8W           
解法二：
分析某一導(dǎo)線框穿過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程知：t_穿=$\frac{2L}{v}$=1.6s，其中有t₁=$\frac{{t}_{穿}}{4}$=0.4s的時(shí)間傳送帶上有5個(gè)導(dǎo)線框，
其中1個(gè)相對(duì)滑動(dòng)，4個(gè)相對(duì)靜止，則該段時(shí)間內(nèi)電動(dòng)機(jī)做功為：W₁=F₁vt₁=（μmgcosθ+4mgsinθ+BIL）vt₁=93.12J
其中有t₂=$\frac{3{t}_{穿}}{4}$=1.2s的時(shí)間傳送帶上有4個(gè)導(dǎo)線框，其中1個(gè)相對(duì)滑動(dòng)，3個(gè)相對(duì)靜止，
則在該段時(shí)間內(nèi)電動(dòng)機(jī)做功為：W₂=F₂vt₂=（μmgcosθ+3mgsinθ+BIL）vt₂=231.36J
由P t_穿=W₁+W₂，得：P=202.8w
答：（1）正方形線圈的邊長(zhǎng)L為0.8m；
（2）每個(gè)線圈通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域產(chǎn)生的熱量Q為10.24J；
（3）在一個(gè)線圈通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程，電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做功的功率P為202.8W．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確傳送帶的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分過(guò)程按照牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、切割公式、歐姆定律、焦耳定律列式求解．