Question

10．如圖所示，光滑直桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，B端固定一根勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l₀的輕彈簧，質(zhì)量為m的小球套在光滑直桿上并與彈簧的上端連接．OO'為過(guò)B點(diǎn)的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為θ．
（1）桿保持靜止?fàn)顟B(tài)，讓小球從彈簧的原長(zhǎng)位置靜止釋放，求小球釋放瞬間的加速度大小a及小球速度最大時(shí)彈簧的壓縮量△l₁；
（2）當(dāng)小球隨光滑直桿一起繞OO'軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為△l₂，求勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω；
（3）若θ=30°，移去彈簧，當(dāng)桿繞OO'軸以角速度ω₀=$\sqrt{\frac{g}{L}}$勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球恰好在桿上某一位置隨桿在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求小球離B點(diǎn)的距離L₀．

Answer 1

分析 （1）小球從彈簧的原長(zhǎng)位置靜止釋放時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，小球速度最大時(shí)其加速度為零，根據(jù)合力為零和胡克定律求解△l₁；
（2）設(shè)彈簧伸長(zhǎng)△l₂時(shí)，對(duì)小球受力分析，根據(jù)向心力公式列式求解；
（3）當(dāng)桿繞OO'軸以角速度ω₀勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式求解即可．

解答 解：（1）小球從彈簧的原長(zhǎng)位置靜止釋放時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：
mgsin θ=ma
解得：a=gsin θ
小球速度最大時(shí)其加速度為零，則有：
k△l₁=mgsin θ
解得：△l₁=$\frac{mgsinθ}{k}$
（2）設(shè)彈簧伸長(zhǎng)△l₂時(shí)，球受力如圖所示，水平方向上有：
F_Nsin θ+k△l₂cos θ=mω²（l₀+△l₂）cos θ
豎直方向上有：F_Ncos θ-k△l₂sin θ-mg=0
解得：ω=$\sqrt{\frac{k△{l}_{2}-mgsinθ}{mrcosθ}}$
（3）當(dāng)桿繞OO'軸以角速度ω₀勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，設(shè)小球距離B點(diǎn)L₀，
此時(shí)有：mgtan θ=mL₀cos θ
解得：L₀=$\frac{gtanθ}{cosθ}=\frac{2}{3}L$
答：（1）桿保持靜止?fàn)顟B(tài)，讓小球從彈簧的原長(zhǎng)位置靜止釋放，小球釋放瞬間的加速度大小a及小球速度最大時(shí)彈簧的壓縮量△l₁為$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）當(dāng)小球隨光滑直桿一起繞OO'軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為△l₂，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為$\sqrt{\frac{k△{l}_{2}-mgsinθ}{mrcosθ}}$；
（3）小球離B點(diǎn)的距離L₀為$\frac{2}{3}L$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、胡克定律與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，要明確小球做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，靠合力提供向心力，由靜止釋放時(shí)，加速度為零時(shí)速度最大．