Question

18．2013年12月14日嫦娥三號(hào)成功實(shí)現(xiàn)了月球表面軟著陸．嫦娥三號(hào)著陸前，先在距月球表面高度為h的圓軌道上運(yùn)行，經(jīng)過變軌進(jìn)入遠(yuǎn)月點(diǎn)高度為h、近月點(diǎn)高度忽略不計(jì)的橢圓軌道上運(yùn)行，為下一步月面軟著陸做準(zhǔn)備．（已知月球半徑為R，月球質(zhì)量為M，萬有引力常量G）
（1）求嫦娥三號(hào)在距月球表面高度為h的圓軌道上運(yùn)行的周期T₁；
（2）應(yīng)用開普勒第三定律，求嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上運(yùn)行的周期T₂．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合嫦娥三號(hào)的軌道半徑以及躍遷的質(zhì)量，求出嫦娥三號(hào)在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的周期．
（2）根據(jù)開普勒第三定律，結(jié)合橢圓軌道的半長軸求出嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上運(yùn)行的周期．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得嫦娥三號(hào)在圓軌道上運(yùn)行的周期為：T₁=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$．
（2）橢圓軌道的半長軸為：a=$\frac{h+2R}{2}$，
根據(jù)開普勒第三定律得：$\frac{{a}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}=\frac{（R+h）^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得：T₂=$\frac{（h+2R）{T}_{1}}{2（R+h）}\sqrt{\frac{h+2R}{2（R+h）}}$．
答：（1）嫦娥三號(hào)在距月球表面高度為h的圓軌道上運(yùn)行的周期為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$．
（2）嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上運(yùn)行的周期為$\frac{（h+2R）{T}_{1}}{2（R+h）}\sqrt{\frac{h+2R}{2（R+h）}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論以及開普勒第三定律，并能靈活運(yùn)用，注意軌道半徑和高度不同．