Question

9．如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，被稱(chēng)為“魔力陀螺”．它可等效為如圖乙所示的模型：豎直固定的磁性圓軌道半徑為R，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在軌道外側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)分別為軌道上的最高與最低點(diǎn)．質(zhì)點(diǎn)受軌道的磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．
（1）判斷質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能是否守恒，并說(shuō)明理由；
（2）若質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為$\sqrt{gR}$，求質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)對(duì)軌道的彈力；
（3）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點(diǎn)仍做完整圓周運(yùn)動(dòng)，求$\frac{F}{mg}$得最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)質(zhì)點(diǎn)的受力進(jìn)行分析，根據(jù)做功情況，判定是否滿(mǎn)足機(jī)械能守恒；
（2）在A點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)的彈力，再由牛頓第三定律得到質(zhì)點(diǎn)對(duì)軌道的彈力．
（3）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點(diǎn)仍做完整圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)不脫離軌道即可，當(dāng)v_A=0，到達(dá)B點(diǎn)的速度最小，機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉Γ�所以質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒．
（2）設(shè)軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)有向上的大小為F_N的彈力．根據(jù)牛頓第二定律得：
F+mg-F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=F
由牛頓第三定律知：質(zhì)點(diǎn)對(duì)軌道的彈力大小為F，方向豎直向下．
（3）質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)不脫離軌道即可，當(dāng)v_A=0，到達(dá)B點(diǎn)的速度最小，機(jī)械能守恒定律得：
mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點(diǎn)，有：F_B-mg-F_N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
所以有：F_B=5mg+F_N
當(dāng)F_N=0時(shí)，磁性引力最小，故得：$（\frac{F}{mg}）_{min}$=5
答：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能是守恒的，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉Γ?br />（2）若質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為$\sqrt{gR}$，質(zhì)點(diǎn)對(duì)軌道的彈力大小為F，方向豎直向下；
（3）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點(diǎn)仍做完整圓周運(yùn)動(dòng)，$\frac{F}{mg}$得最小值是5．

點(diǎn)評(píng) 該題屬于結(jié)合機(jī)械能守恒定律考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的情況，在解答的過(guò)程中正確分析得出小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的條件是解答的關(guān)鍵，正確寫(xiě)出向心力的表達(dá)式是解答的基礎(chǔ)．