Question

4．如圖所示，在光滑的水平面上有一質(zhì)量為m的小球B，用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接組成一個(gè)彈簧振子，小球B靜止在平衡位置．質(zhì)量為m的小球A，從半徑為R的光滑圓弧形軌道，離地高為h（h＜＜R）處的C點(diǎn)，由靜止下滑，運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)與B球發(fā)生彈性碰撞進(jìn)取終A球又返回到離地高為h的C點(diǎn)，之后這一過程又循環(huán)往復(fù)地進(jìn)行下去，已知彈簧振子的周期T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{k}}$，則有s=2h．試求該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期，結(jié)果用m，k，h，R表示．

Answer 1

分析 由題意可知，小球的運(yùn)動(dòng)周期由三部分組成：與彈簧接觸的過程中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在OO′之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在圓弧面上做單擺運(yùn)動(dòng)，分別以各自的規(guī)律求出三段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出即可求出周期．

解答 解：因?yàn)閔＜＜R，所以α＜5°，故A球從C由靜止滑到O′的過程是類單擺運(yùn)動(dòng)，A球從O′到O的運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)．A球向左運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)和B球發(fā)生第一次彈性碰撞，由于A、B兩球質(zhì)量相等，所以A、B兩球碰撞前后交換速度，故碰后A球靜止在O點(diǎn)，B球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．當(dāng)B球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)回到O點(diǎn)時(shí)，其速度與A、B兩球第一次碰撞前A球的速度大小相等，此時(shí)，B球和A球發(fā)生第二次碰撞，碰后B球靜止，A球以和它向左運(yùn)動(dòng)時(shí)相等的速度勻速向右運(yùn)動(dòng)向O′點(diǎn)，再一次做類單擺運(yùn)動(dòng)回到C點(diǎn)．此后反復(fù)循環(huán)．
設(shè)A球做類單擺運(yùn)動(dòng)的周期為T₁，由單擺周期公式得 T₁=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
A球從C向O′的往復(fù)時(shí)間為：t₁=$\frac{1}{2}×{T_1}=π×\sqrt{\frac{R}{g}}$
設(shè)A球由C運(yùn)動(dòng)向O′的速度為υ，由機(jī)械能守恒定律得$mgh=\frac{1}{2}m{υ^2}$
所以：$υ=\sqrt{2gh}$
所以A球從O′到O的往復(fù)時(shí)間為：${t}_{2}=2×\frac{s}{v}=\frac{2×2h}{\sqrt{2gh}}=2\sqrt{\frac{2h}{g}}$
設(shè)B球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T₃，由彈簧振子的周期公式得  T₃=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{k}}$
∴B球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的往復(fù)時(shí)間為  t₃=$\frac{1}{2}$T₃      
即：t₃=$π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{k}}$
綜上所述，題中所給系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為 T=t₁+t₂+t₃=$π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$+2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{k}}$
答：該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為$π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$+2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{k}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題設(shè)計(jì)的情景比較復(fù)雜，小球的周期包括簡(jiǎn)諧振動(dòng)的半個(gè)周期、單擺的半個(gè)周期以及OO′的勻速直線運(yùn)動(dòng)，要注重對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的分析．