Question

如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，使，得到三棱錐.
（Ⅰ）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，
所以是的中位線，.                     ………………1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181800592406.gif" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,
所以平面.                          ………………3分
（Ⅱ）解：由題意，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181800109359.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以，. ………………4分
又因?yàn)榱庑?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181759999301.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，.
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
.
所以                    ………………6分
設(shè)平面的法向量為，
則有即：
令，則，所以.           ………………7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181801076494.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以平面.    
平面的法向量與平行，
所以平面的法向量為.                      ………………8分
，
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181800218330.gif" style="vertical-align:middle;" />是銳角，
所以二面角的余弦值為.               ……………9分
（Ⅲ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181800233211.gif" style="vertical-align:middle;" />是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，
則，
所以，                              ……………10分
則，，
由得，即，…………11分
解得或，                                        ……………12分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.                          ……………13分
（也可以答是線段的三等分點(diǎn)，或）

略