【題目】設(shè)各項(xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮數(shù)列滿足:,且對(duì)所有,均成立.

(1)寫出的所有可能值(不需要寫計(jì)算過(guò)程);

(2)若是公差為1的等差數(shù)列,求的通項(xiàng)公式;

(3)證明:存在滿足條件的數(shù)列,使得在該數(shù)列中,有無(wú)窮多項(xiàng)為2019.

【答案】(1),,,1,3,5,7;(2),;(3)證明見解析.

【解析】

1)通過(guò)列舉法表示出所有可能值

2)分析可知表示的是原數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng),求得奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式,再利用相鄰兩項(xiàng)差的絕對(duì)值的關(guān)系構(gòu)造關(guān)系式解出偶數(shù)項(xiàng),進(jìn)而求得通項(xiàng)

3)可利用(2)中的數(shù)列,構(gòu)造一個(gè)循環(huán)數(shù)列,則可證明循環(huán)數(shù)列中存在無(wú)窮多項(xiàng)為2019

1,,1,3,5,7;

2是公差為1的等差數(shù)列,

數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)為公差為1的等差數(shù)列,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),由可知:,即

解得:,;

3)由(2)可知存在一個(gè)數(shù)列使得奇數(shù)項(xiàng)為從1開始的連續(xù)自然數(shù),則易知

然后自4037項(xiàng)開始,構(gòu)造奇數(shù)項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列,由(2)可知,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),由可知

,解得:

則當(dāng)奇數(shù)項(xiàng)取至1時(shí),重復(fù)第一段的數(shù)列,得到一個(gè)周期數(shù)列,在此周期數(shù)列中,存在無(wú)窮多項(xiàng)為2019,即可得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為常數(shù),),且數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.

1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

2)若,當(dāng)時(shí),求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值;

3)若,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使得是遞增數(shù)列?若存在,求出的范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知無(wú)窮數(shù)列的前n項(xiàng)和為,記 ,…, 中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

(Ⅰ)若= n,請(qǐng)寫出數(shù)列的前5項(xiàng);

(Ⅱ)求證:"為奇數(shù), (i = 2,3,4,...)為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件;

(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,{bn}數(shù)列是以q為公比的等比數(shù)列.

(1)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1b1d=2,S3a1003+5b2﹣2010,求整數(shù)q的值;

(2)在(1)的條件下,試問(wèn)數(shù)列中是否存在一項(xiàng)bk,使得bk恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)ppN,p≥2)項(xiàng)的和?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若b1ar,b2asar,b3at(其中tsr,且(sr)是(tr)的約數(shù)),求證:數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,以橢圓)的右焦點(diǎn)為圓心,為半徑作圓(其中為已知橢圓的半焦距),過(guò)橢圓上一點(diǎn)作此圓的切線,切點(diǎn)為.

1)若,為橢圓的右頂點(diǎn),求切線長(zhǎng);

2)設(shè)圓軸的右交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作斜率為)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若恒成立,且.求:

(ⅰ)的取值范圍;

(ⅱ)直線被圓所截得弦長(zhǎng)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知曲線,對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn),定義,若兩點(diǎn),,滿足,稱點(diǎn),在曲線同側(cè);,稱點(diǎn),在曲線兩側(cè).

(1)直線過(guò)原點(diǎn),線段上所有點(diǎn)都在直線同側(cè),其中,,求直線的傾斜角的取值范圍;

(2)已知曲線,為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)集的面積;

(3)記到點(diǎn)與到軸距離和為的點(diǎn)的軌跡為曲線,曲線,若曲線上總存在兩點(diǎn),在曲線兩側(cè),求曲線的方程與實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某溫室大棚規(guī)定,一天中,從中午12點(diǎn)到第二天上午8點(diǎn)為保溫時(shí)段,其余4小時(shí)為工作作業(yè)時(shí)段,從中午12點(diǎn)連續(xù)測(cè)量20小時(shí),得出此溫室大棚的溫度y(單位:度)與時(shí)間t(單位:小時(shí),)近似地滿足函數(shù)關(guān)系,其中,b為大棚內(nèi)一天中保溫時(shí)段的通風(fēng)量。

1)若一天中保溫時(shí)段的通風(fēng)量保持100個(gè)單位不變,求大棚一天中保溫時(shí)段的最低溫度(精確到0.1℃);

2)若要保持一天中保溫時(shí)段的最低溫度不小于17℃,求大棚一天中保溫時(shí)段通風(fēng)量的最小值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù),若函數(shù)滿足:①在區(qū)間上單調(diào)遞減,②存在常數(shù),使其值域?yàn)?/span>,則稱函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”,說(shuō)明理由;

(2)求證:函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”;

(3)若函數(shù),,求證:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的“漸近函數(shù)”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種服裝,每件服裝成本為40元,出廠單價(jià)定為60元,該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu),規(guī)定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過(guò)100件時(shí),每多訂購(gòu)一件,訂購(gòu)的全部服裝的出廠單價(jià)就降低元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,銷售商一次訂購(gòu)不會(huì)超過(guò)600.

1設(shè)一次訂購(gòu)件,服裝的實(shí)際出廠單價(jià)為元,寫出函數(shù)的表達(dá)式;

2當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)多少件服裝時(shí),該廠獲得的利潤(rùn)最大?其最大利潤(rùn)是多少?

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