【題目】已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,{bn}數(shù)列是以q為公比的等比數(shù)列.
(1)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2﹣2010,求整數(shù)q的值;
(2)在(1)的條件下,試問數(shù)列中是否存在一項(xiàng)bk,使得bk恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p(p∈N,p≥2)項(xiàng)的和?請說明理由;
(3)若b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的約數(shù)),求證:數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng).
【答案】(1)2;(2)不存在;(3)詳見解析.
【解析】
(1)先求an=2n,利用等比數(shù)列得的不等式求解即可;(2)反證法推得矛盾即可;(3)由b1=ar,得,進(jìn)而得q是整數(shù),且q≥2,再證明對于數(shù)列中任一項(xiàng)bi (i>3)一定是數(shù)列{an}的項(xiàng)即可
(1)由題意知,an=2n,bn=2qn﹣1,所以由S3<a1003+5b2﹣2010,
可得到b1+b2+b3<a1003+5b2﹣2010b1﹣4b2+b3<2006﹣2010q2﹣4q+3<0.
解得1<q<3,又q為整數(shù),所以q=2;
(2)假設(shè)數(shù)列{bn}中存在一項(xiàng)bk,滿足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p﹣1,
因?yàn)?/span>bn=2n,∴bk>bm+p﹣12k>2m+p﹣1k>m+p﹣1k≥m+p(*)
又
=2m+p﹣2m<2m+p,所以k<m+p,此與(*)式矛盾.
所以,這樣的項(xiàng)bk不存在;
(3)由b1=ar,得b2=b1q=arq=as=ar+(s﹣r)d,
則
又,
從而,
因?yàn)?/span>as≠arb1≠b2,所以q≠1,又ar≠0,
故.又t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的約數(shù),
所以q是整數(shù),且q≥2,
對于數(shù)列中任一項(xiàng)bi(這里只要討論i>3的情形),
有bi=arqi﹣1=ar+ar(qi﹣1﹣1)
=ar+ar(q﹣1)(1+q+q2+ +qi﹣2)
=ar+d(s﹣r)(1+q+q2+ +qi﹣2)
=ar+[((s﹣r)(1+q+q2+ +qi﹣2)+1)﹣1]d,
由于(s﹣r)(1+q+q2+ +qi﹣2)+1是正整數(shù),所以bi一定是數(shù)列{an}的項(xiàng).
故得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),若對于任意的正整數(shù),存在,使得、、成等比數(shù)列,則稱函數(shù)為“型”數(shù)列.
(1)若是“型”數(shù)列,且,,求的值;
(2)若是“型”數(shù)列,且,,求的前項(xiàng)和;
(3)若既是“型”數(shù)列,又是“型”數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中,
(1)當(dāng)時(shí),求使得等式成立的的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),求使得等式成立的的取值范圍;
(3)求的區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,B是AC的中點(diǎn),,P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn),且.有以下結(jié)論:
①當(dāng)x=0時(shí),y∈[2,3];
②當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí),;
③若x+y為定值1,則在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的軌跡是一條線段;
④x﹣y的最大值為﹣1;
其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項(xiàng)均為整數(shù)的無窮數(shù)列滿足:,且對所有,均成立.
(1)寫出的所有可能值(不需要寫計(jì)算過程);
(2)若是公差為1的等差數(shù)列,求的通項(xiàng)公式;
(3)證明:存在滿足條件的數(shù)列,使得在該數(shù)列中,有無窮多項(xiàng)為2019.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一列函數(shù),設(shè)直線與的交點(diǎn)為,點(diǎn)在軸和直線上的射影分別為,記的面積為,的面積為.
(1)求的最小值,并指出此時(shí)的取值;
(2)在中任取一個(gè)函數(shù),求該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率;
(3)是否存在正整數(shù),使得成立,若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A,B兩地,A地位于東西方向的直線MN上的陸地處,B地位于海上一個(gè)燈塔處,在A地用測角器測得,在A地正西方向4km的點(diǎn)C處,用測角器測得.擬定鋪設(shè)方案如下:在岸MN上選一點(diǎn)P,先沿線段AP在地下鋪設(shè),再沿線段PB在水下鋪設(shè).預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬元/km和4萬元/km,設(shè),,鋪設(shè)電纜的總費(fèi)用為萬元.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)試問點(diǎn)P選在何處時(shí),鋪設(shè)的總費(fèi)用最少,并說明理由.
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