【題目】如圖,將正六邊形ABCDEF中的一半圖形ABCD繞AD翻折到AB1C1D,使得∠B1AF=60°.G是BF與AD的交點.
(Ⅰ)求證:平面ADEF⊥平面B1FG;
(Ⅱ)求直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)由正六邊形對稱性可知BF⊥AD, 因此B1G⊥AD,F(xiàn)G⊥AD.
又B1G∩FG=G,B1G平面B1GF,F(xiàn)G平面B1GF,
所以AD⊥平面B1GF.
又因為AD平面ADEF,
所以平面ADEF⊥平面B1FG.
(Ⅱ)(方法一)
由(Ⅰ)已得平面B1GF⊥平面ADEF.
作B1H⊥FG于H,
又由于平面B1GF∩平面ADEF=FG,
所以B1H⊥平面ADEF.
連接AH,則∠B1AH就是直線B1A與平面ADEF所成的角.
不妨設(shè)正六邊形邊長為2.
則AF=AB1=2且∠B1AF=60°,∠B1AG=∠FAG=60°
得B1F=2, .
在△B1GF中, = .
. ,
,
所以直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為 .
(方法二)如圖,以A為坐標(biāo)原點,以AD為x軸,
過A在平面ADEF內(nèi)作垂直于AD的直線為y軸,
過A作垂直于平面ADEF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)正六邊形邊長為2.則 , ,
設(shè) .
由
得x①.
由 得 ②.
又 ③.
由①②③得 .所以 .
取平面ADEF的法向量 . .
所以直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出B1G⊥AD,F(xiàn)G⊥AD,從而AD⊥平面B1GF,由此能證明平面ADEF⊥平面B1FG.(Ⅱ)法一:作B1H⊥FG于H,連接AH,則∠B1AH就是直線B1A與平面ADEF所成的角,由此能求出直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值.法二:以A為坐原點,以AD為x軸,過A在平面ADEF內(nèi)作垂直于AD的直線為y軸,過A作垂直于平面ADEF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為 .
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用異面直線及其所成的角和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|x2+2x﹣3>0},集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一個整數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線系M:xcosθ+(y﹣1)sinθ=1(0≤θ≤2π),對于下列說法:
(1)M中所有直線均經(jīng)過一個定點;
(2)存在一個圓與所有直線不相交;
(3)對于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在M中的直線上;
(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
其中說法正確的是(填序號).
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【題目】已知拋物線y2=4x的焦點為F,點A、B在拋物線上,且∠AFB=90°,弦AB中點M在準(zhǔn)線l上的射影為M1 , 則 的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,h(x)=2f(x)﹣ax﹣b.
(Ⅰ)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;
(Ⅱ)若f(x)為奇函數(shù),且h(x)在[﹣1,1]有零點,求實數(shù)b的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn+an=4,n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)已知cn=2n+3(n∈N*),記dn=cn+logCan(C>0且C≠1),是否存在這樣的常數(shù)C,使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列,若存在,求出C的值;若不存在,請說明理由.
(3)若數(shù)列{bn},對于任意的正整數(shù)n,均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=( )n﹣ 成立,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了測量山頂M的海拔高度,飛機沿水平方向在A,B兩點進行測量,A,B,M在同一個鉛垂面內(nèi)(如圖).能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角、飛機的高度和A,B兩點間的距離.請你設(shè)計一個方案,包括:
(1)指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標(biāo)出);
(2)用文字和公式寫出計算山頂M海拔高度的步驟.
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【題目】某校舉行環(huán)保知識競賽,為了了解本次競賽成績情況,從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學(xué)生的成績(得分均為正數(shù),滿分100分),進行統(tǒng)計,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若從成績較好的第3、4、5組中,按分層抽樣的方法抽取6人參加社區(qū)志愿者活動,并從中選出2人做負責(zé)人,求2人中至少有1人是第四組的概率.
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [50,60] | 5 | 0.05 |
第2組 | [60,70] | a | 0.35 |
第3組 | [70,80] | 30 | b |
第4組 | [80,90] | 20 | 0.20 |
第5組 | [90,100] | 10 | 0.10 |
合計 | 100 | 1.00 |
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