Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn+an=4，n∈N* ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）已知cn=2n+3（n∈N*），記dn=cn+logCan（C＞0且C≠1），是否存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，若存在，求出C的值；若不存在，請說明理由．
（3）若數(shù)列{bn}，對于任意的正整數(shù)n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵且Sn+an=4，n∈N*．∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即 ．

當(dāng)n=1時(shí)，2a1=4，解得a1=2．

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an= =22﹣n．

（2）解：dn=cn+logCan=2n+3+ =2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，

假設(shè)存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，

則2﹣logC2=0，解得C= ．

∴存在這樣的常數(shù)C= ，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，dn=3+ =7．

（3）證明：∵對于任意的正整數(shù)n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），

∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1= ．①

（*）兩邊同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2= ﹣ ．②．

①﹣②可得bn+1a1= = ，

∴ ，

∴ ，（n≥3）．

又2b1= ，解得b1= ．

b1a2+b2a1= ，

∴ +b2×2=﹣ ，解得b2= ．

當(dāng)n=1，2時(shí)， ，也適合．

∴ ，（n∈N*）是等差數(shù)列．

【解析】（1）利用“當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；（2）dn=cn+logCan=2n+3+ =（2﹣logC2）n+3+2logC2，假設(shè)存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，則2﹣logC2=0，解得C即可．（3）由于對于任意的正整數(shù)n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1= ．（*）兩邊同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2= ﹣ ．兩式相減可得可得 ，即 ，（n≥3）．n=1，2也成立，即可證明．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．