Question

【題目】已知數列是各項均為正數的等差數列，其中，且成等比數列；數列的前項和為，滿足.

（1）求數列、的通項公式；

（2）如果，設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）存在； 。

【解析】試題（1）數列是等差數列， 用公差表示出來后，由已知求得，可得通項公式，數列是已知和與項的關系，可由求得，再寫出當時，兩式相減后可得的遞推式，從而知是等比數列，由此可得通項公式；（2）數列是由等差數列與等比數列相乘所得，其前項和用錯位相減法求得，由（2）得出，作差 ，會發(fā)現(xiàn)當時都有 ，因此結論是肯定的．

試題解析：（1）設數列的公差為，依條件有，即，

解得（舍）或， ，由得，

當時， ，解得，當時， ，

， 數列是首項為，公比為的等比數列，故；

（2）由（1）知： ， ①，

②，

① —②得

又， ，當時， ，

當時， ， ，故所求的正整數存在，其最小值為2．