Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)圓過定點(diǎn),且與定直線相切.
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）中心在的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn).若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在曲線上，且直線與橢圓有公共點(diǎn),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值時(shí)的橢圓方程.

Answer 1

（1）.（2）

試題分析：⑴由題可知，圓心到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等     
由拋物線定義知,的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線 
所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.                             
⑵解法1、
設(shè)，則中點(diǎn)為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012800963217.png" style="vertical-align:middle;" />兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，解之得8分
將其代入拋物線方程，得：，所以.                  
聯(lián)立，消去，得：             
由，得，                     
注意到，即，所以，即，                 
因此，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.此時(shí)橢圓的方程為.         
解法2、
設(shè) ，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012800963217.png" style="vertical-align:middle;" />兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，        
即，解之得                                
即,根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)在第四象限，且直線與拋物線交于.則,于是直線方程為          
聯(lián)立，消去，得：             
由，得，                    
注意到，即，所以，即，                 
因此，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為. 此時(shí)橢圓的方程為.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及解析幾何中的對(duì)稱性問
題，屬于常規(guī)題．