Question

16．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，且圖象上相鄰最高點的距離為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到g（x）的圖象若關(guān)于x的方程g（x）-（2m+1）=0在$[0，\frac{π}{2}]$上有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意利用正弦函數(shù)的周期性以及圖象的對稱性，求得f（x）的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，根據(jù)題意，g（x）的圖象和直線y=2m+1在[0 $\frac{π}{2}$]上只有一個交點，結(jié)合g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的圖象，求得m的范圍．

解答 解：（1）因為f（x）的圖象上相鄰最高點的距離為$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2．
又f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，
∴2•$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，
得到g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象，
根據(jù)方程g（x）-（2m+1）=0在$[0，\frac{π}{2}]$上有唯一解，
可得g（x）的圖象和直線y=2m+1在[0 $\frac{π}{2}$]上只有一個交點，
在$[0，\frac{π}{2}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，令t=2x-$\frac{π}{6}$，
則y=2sint在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象和直線y=2m+1只有一個交點，
只需-1≤2m+1＜1或2m+1=2，解得-1≤m＜0或m=$\frac{1}{2}$．
即實m的取值范圍為{m|-1≤m＜0或m=$\frac{1}{2}$}．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性以及圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于中檔題．