Question

設(shè)
（1）若，求及數(shù)列的通項公式；
（2）若，問：是否存在實數(shù)使得對所有成立？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）；（2）存在，

試題分析：（1）由
所以數(shù)列是等差數(shù)列，可先求數(shù)列再求數(shù)列的通項公式；也可以先根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，然后由數(shù)學歸納法證明.
（2）利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造函數(shù)，
由，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，用數(shù)學歸納法證明即可.
解:（1）解法一：
再由題設(shè)條件知
從而是首項為0公差為1的等差數(shù)列，
故=，即
解法二：
可寫為.因此猜想.
下用數(shù)學歸納法證明上式：
當時結(jié)論顯然成立.
假設(shè)時結(jié)論成立，即.則

這就是說，當時結(jié)論成立.
所以
（2）解法一：設(shè)，則.
令，即，解得.
下用數(shù)學歸納法證明加強命：

當時，，所以，結(jié)論成立.
假設(shè)時結(jié)論成立，即
易知在上為減函數(shù)，從而

即
再由在上為減函數(shù)得.
故，因此，這就是說，當時結(jié)論成立.
綜上，符合條件的存在，其中一個值為.
解法二：設(shè)，則
先證：         ①
當時，結(jié)論明顯成立.
假設(shè)時結(jié)論成立，即
易知在上為減函數(shù)，從而

即這就是說，當時結(jié)論成立，故①成立.
再證：           ②
當時，，有，即當時結(jié)論②成立
假設(shè)時，結(jié)論成立，即
由①及在上為減函數(shù)，得


這就是說，當時②成立，所以②對一切成立.
由②得
即
因此
又由①、②及在上為減函數(shù)得
即
所以解得.
綜上，由②③④知存在使對一切成立.