已知函數(shù)fn(x)=(1+
1
n
)x
(n∈N*).
(Ⅰ)比較fn(0)與
1
n
的大。
(Ⅱ)求證:
f1(1)
2
+
f2(2)
3
+
f3(3)
4
+…+
fn(n)
n+1
<3
分析:(1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),構(gòu)造函數(shù)φ(x)=ln(1+x)-x,研究函數(shù)φ(x)的單調(diào)性可判定fn(0)與
1
n
的大小
(2)利用第一問(wèn)的結(jié)論對(duì)
fn′(n)
n+1
進(jìn)行放縮,結(jié)合不等式的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的運(yùn)用,聯(lián)合求解即可證明原不等式.
解答:解:(Ⅰ)fn(x)=(1+
1
n
)xln(1+
1
n
)

fn(0)=ln(1+
1
n
)
,設(shè)函數(shù)φ(x)=ln(1+x)-x,x∈(0,1]
φ′(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
<0
,則φ(x)單調(diào)遞減,
所以ln(1+x)-x<φ(0)=0,所以ln(1+x)<x
ln(1+
1
n
)<
1
n
,即fn(0)<
1
n
;
(Ⅱ)
fn(n)
n+1
=
(1+
1
n
)
n
ln(1+
1
n
)
n+1
(1+
1
n
)
n
n(n+1)

因?yàn)?span id="xbz7rdl" class="MathJye">(1+
1
n
)n<1+1+
1
1•2
+
1
2•3
++
1
(n-1)n
=3-
1
n
<3

f1(1)
2
+
f2(2)
3
+
f3(3)
4
++
fn(n)
n+1
<3(
1
1•2
+
1
2•3
++
1
(n-1)n
)=3(1-
1
n
)<3

則原結(jié)論成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及不等式的證明,在高考中也?,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)fn(x)=x2+x+
12
的定義域是[n,n+1](n是自然數(shù)),那么f1(x)的值域中共有
4
4
個(gè)整數(shù);fn(x)的值域中共有
2n+2
2n+2
個(gè)整數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)fn(x)=
ln(x+n)-n
x+n
+
1
n(n+1)
(其中n為常數(shù),n∈N*),將函數(shù)fn(x)的最大值記為an,由an構(gòu)成的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn
(Ⅰ)求Sn
(Ⅱ)若對(duì)任意的n∈N*,總存在x∈R+使
x
ex-1
+a=an
,求a的取值范圍;
(Ⅲ)比較
1
en+1+e•n
+fn(en)
與an的大小,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•合肥三模)已知函數(shù)fn(x)=
1
3
x3-
1
2
(n+1)x2+x(n∈N*)
,數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=f'n(an),a1=3.
(1)求a2,a3,a4
(2)根據(jù)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明;
(3)求證:
1
(2a1-5)2
+
1
(2a2-5)2
+…+
1
(2an-5)2
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1,(n∈N*,且n>1).

(Ⅰ) 設(shè)函數(shù),求的最大值和最小值

(Ⅱ) 若求證:fn(x)≥nx.

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