(2011•合肥三模)已知函數(shù)fn(x)=
1
3
x3-
1
2
(n+1)x2+x(n∈N*)
,數(shù)列{an}滿足an+1=f'n(an),a1=3.
(1)求a2,a3,a4
(2)根據(jù)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明;
(3)求證:
1
(2a1-5)2
+
1
(2a2-5)2
+…+
1
(2an-5)2
3
2
分析:(1)由已知,對(duì)fn(x)求導(dǎo),由an+1=f'n(an)應(yīng)得出an+1=an2-(n+1)an+1,利用此遞推式求a2,a3,a4
(2)由(1)求得的結(jié)果,應(yīng)猜想an=n+2,可用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(3)當(dāng)k≥2時(shí),
1
(2ak-5)2
=
1
(2k-1)2
1
(2k-1)(2k-3)
=
1
2
1
2k-3
1
2k-1
),
對(duì)不等式右邊的項(xiàng)放縮后,化簡(jiǎn)整理,尋求出與
3
2
的大小關(guān)系,來證明不等式.
解答:解:(1)f'n(x)=x2-(n+1)x+1,(n∈N*
∴an+1=an2-(n+1)an+1
∵a1=3.
∴a2=a12-2a1+1=4
a3=a22-3a1+1=5
a4=a32-4a3+1=6
(2)猜想an=n+2
當(dāng)n=1時(shí),顯然成立
假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立,即有ak=k+2
則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=ak2-(k+1)ak+1=(k+2)2-(k+1)(k+2)+1
=k+3=(k+1)+2
即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.
所以對(duì)一切n∈N*,an=n+2均成立.
(3)證明:當(dāng)k≥2時(shí),
1
(2ak-5)2
=
1
(2k-1)2
1
(2k-1)(2k-3)
=
1
2
1
2k-3
1
2k-1

所以n≥2時(shí),有
1
(2a2-5)2
+
1
(2a3-5)2
+…+
1
(2an-5)2
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)
+…(
1
2n-3
-
1
2n-1
)]
=
1
2
1-
1
2n-1
)<
1
2

1
(2a1-5)2
=1,
所以
1
(2a1-5)2
+
1
(2a2-5)2
+…+
1
(2an-5)2
<1+
1
2
=
3
2
,
原不等式成立.
點(diǎn)評(píng):本題是函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合.考查了計(jì)算、歸納猜想、證明的數(shù)學(xué)思想方法,放縮法證明不等式(結(jié)合了裂項(xiàng)法數(shù)列求和).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•合肥三模)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,100]上至少有個(gè)
50
50
零點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•合肥三模)已知
a
=(sinx+cosx,sinx-cosx),
b
=(sinx,cosx)
(1)若
a
b
,求x的值;
(2)當(dāng)x∈(-
π
6
,
π
4
)
時(shí),求函數(shù)f(x)=
a
b
的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•合肥三模)已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),過拋物線上點(diǎn)M(-2
p
,p)作△MAB,A、B兩均在拋物線上.過M作x軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)N.
(I)若MN平分∠AMB,求證:直線AB的斜率為定值;
(II)若直線AB的斜率為
p
,且點(diǎn)N到直線MA,MB的距離的和為4p,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•合肥三模)在△ABC中,AB⊥AC,AB=6,AC=4,D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AB上,且3AE=AB,BD與CE交于點(diǎn)G,則
AG
BC
=
-
4
5
-
4
5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•合肥三模)5名男性驢友到某旅游風(fēng)景區(qū)游玩,晚上入住一家賓館,賓館有3間客房可選,一間客房為3人間,其余為2人間,則5人入住兩間客房的不同方法有
20
20
種(用數(shù)字法作答).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案