已知函數(shù)fn(x)=
ln(x+n)-n
x+n
+
1
n(n+1)
(其中n為常數(shù),n∈N*),將函數(shù)fn(x)的最大值記為an,由an構(gòu)成的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn
(Ⅰ)求Sn;
(Ⅱ)若對任意的n∈N*,總存在x∈R+使
x
ex-1
+a=an
,求a的取值范圍;
(Ⅲ)比較
1
en+1+e•n
+fn(en)
與an的大小,并加以證明.
分析:(Ⅰ)fn(x)=
-ln(x+n)+n+1
(x+n)2
,令fn′(x)>0,則x<en+1-n.所以fn(x)在(-n,en+1-n)上遞增,在(en+1-n,+∞)上遞減.由此能求出Sn
(Ⅱ)由n≥1,知en+1遞增,n(n+1)遞增,an=
1
en+1
+
1
n(n+1)
遞減.所以an∈(0,
1
e2
+
1
2
]
,令g(x)=
x
ex-1
+a
,則g(x)=
1-x
ex-1
,故g(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減.由此入手能夠求出a的取值范圍.
(Ⅲ)作差相減
1
en+1+e•n
+fn(en)-an
,得
1
en+1+e•n
+
ln(en+n)-n
en+n
+
1
n(n+1)
-
1
en+1
-
1
n(n+1)
,整理為
1
en+n
(
1
e
+ln
en+n
en
-
1
e
en+n
en
)
,令t=
en+n
en
,能夠推導(dǎo)出
1
en+1+e•n
+fn(en)>an
解答:解:(Ⅰ)fn(x)=
-ln(x+n)+n+1
(x+n)2
,(2分)
令fn′(x)>0,則x<en+1-n.
∴fn(x)在(-n,en+1-n)上遞增,在(en+1-n,+∞)上遞減.(4分)
∴當(dāng)x=en+1-n時,fn(x)max=fn(en+1-n)=
1
en+1
+
1
n(n+1)
(5分)
an=
1
en+1
+
1
n(n+1)
,
Sn=
en-1
en+2-en+1
+
n
n+1
.(6分)
(Ⅱ)∵n≥1,∴en+1遞增,n(n+1)遞增,
an=
1
en+1
+
1
n(n+1)
遞減.
0<ana1=
1
e2
+
1
2
,
an∈(0,
1
e2
+
1
2
]
(8分)
g(x)=
x
ex-1
+a
,則g(x)=
1-x
ex-1
,
∴g(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減.
當(dāng)x→0時,
x
ex-1
→0
;
當(dāng)x→+∞時,
x
ex-1
>0
;
又g(1)=1+a,
∴g(x)∈(a,1+a](10分)
由已知得,(a,1+a]?(0,
1
e2
+
1
2
]
,
a≤0
1
e2
+
1
2
≤1+a
1
e2
-
1
2
≤a≤0
(11分)
(Ⅲ)
1
en+1+e•n
+fn(en)-an

=
1
en+1+e•n
+
ln(en+n)-n
en+n
+
1
n(n+1)
-
1
en+1
-
1
n(n+1)

=
1
e(en+n)
+
1
en+n
ln
en+n
en
-
1
en+1

=
1
en+n
(
1
e
+ln
en+n
en
-
1
e
en+n
en
)
(12分)
t=
en+n
en
,
g(x)=
ex+x
ex
(x≥1),g(x)=
1-x
ex
≤0∴g(x)
在[1,+∞)上遞減.
1<g(x)≤1+
1
e
,
t∈(1,1+
1
e
]
(13分)
r(t)=
1
e
+lnt-
1
e
t,r(t)=
1
t
-
1
e
>0∴r(t)>r(1)=0
(14分)
1
en+n
(
1
e
+ln
en+n
en
-
1
e
en+n
en
)>0

1
en+1+e•n
+fn(en)>an
(15分)
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意培養(yǎng)運(yùn)算能力,注意作差法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)fn(x)=(1+
1
n
)x
(n∈N*).
(Ⅰ)比較fn(0)與
1
n
的大。
(Ⅱ)求證:
f1(1)
2
+
f2(2)
3
+
f3(3)
4
+…+
fn(n)
n+1
<3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)fn(x)=x2+x+
12
的定義域是[n,n+1](n是自然數(shù)),那么f1(x)的值域中共有
4
4
個整數(shù);fn(x)的值域中共有
2n+2
2n+2
個整數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•合肥三模)已知函數(shù)fn(x)=
1
3
x3-
1
2
(n+1)x2+x(n∈N*)
,數(shù)列{an}滿足an+1=f'n(an),a1=3.
(1)求a2,a3,a4
(2)根據(jù)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明;
(3)求證:
1
(2a1-5)2
+
1
(2a2-5)2
+…+
1
(2an-5)2
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1,(n∈N*,且n>1).

(Ⅰ) 設(shè)函數(shù),求的最大值和最小值

(Ⅱ) 若求證:fn(x)≥nx.

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同步練習(xí)冊答案