【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥平面PAD,AB∥CD,CD=2AB=2BC,M,N分別是棱PA,CD的中點(diǎn).
(1)求證:PC∥平面BMN;
(2)求證:平面BMN⊥平面PAC.
【答案】
(1)證明:設(shè)AC∩BN=O,連結(jié)MO,AN,
因?yàn)? ,N為CD的中點(diǎn),
所以AB=CN,AB∥CN,所以四邊形ABCN為平行四邊形,
所以O(shè)為AC的中點(diǎn),所以MO∥PC.
又因?yàn)镸O平面BMN,PC平面BMN,所以PC∥平面BMN
(2)證明:(方法一)因?yàn)镻C⊥平面PDA,AD平面PDA
所以PC⊥AD,由(1)同理可得,四邊形ABND為平行四邊形,
所以AD∥BN,所以BN⊥PC
因?yàn)锽C=AB,所以平行四邊形ABCN為菱形,所以BN⊥AC,
因?yàn)镻C∩AC=C,AC平面PAC,PC平面PAC,所以BN⊥平面PAC
因?yàn)锽N平面BMN,所以平面BMN⊥平面PAC.
(方法二)連結(jié)PN,因?yàn)镻C⊥平面PDA,PA平面PDA,所以PC⊥PA
因?yàn)镻C∥MO,所以PA⊥MO,因?yàn)镻C⊥平面PDA,PD平面PDA,所以PC⊥PD
因?yàn)镹為CD的中點(diǎn),所以 ,由(1) ,所以AN=PN
又因?yàn)镸為PA的中點(diǎn),所以PA⊥MN
因?yàn)镸N∩MO=M,MN平面BMN,MO平面BMN
所以PA⊥平面BMN,因?yàn)镻A平面PAC,所以平面PAC⊥平面BMN.
【解析】
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,真命題是( )
A.x∈R,2x>x2
B.若a>b,c>d,則 a﹣c>b﹣d
C.x∈R,ex<0
D.ac2<bc2是a<b的充分不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是 ( )
A. “x<1”是“l(fā)og2(x+1)<1”的充分不必要條件
B. 命題“x>0,2x>1”的否定是“x0≤0,≤1”
C. 命題“若a≤b,則ac2≤bc2”的逆命題是真命題
D. 命題“若a+b≠5,則a≠2或b≠3”的逆否命題為真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,E為CB的中點(diǎn),AB=PA=AD=2CD,則AP與平面PDE所成角的正弦值為 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)(2,0)的直線l與動(dòng)圓圓心C的軌跡交于A,B兩點(diǎn),求證:是一個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知M,N是焦點(diǎn)為F的拋物線y2=2px(p>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.
(1)求|MF|+|NF|的值;
(2)若p=2,直線MN與x軸交于點(diǎn)B,求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲,乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,共比賽2n(n∈N+)局,根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道,每局甲勝的概率和乙勝的概率均為 .如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人,則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P(n).
(1)求P(2)與P(3)的值;
(2)試比較P(n)與P(n+1)的大小,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},{bn}均為各項(xiàng)都不相等的數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,an+1bn=Sn+1(n∈N).
(1)若a1=1,bn= ,求a4的值;
(2)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,求證:存在實(shí)數(shù)λ,使得{bn+λ}為等比數(shù)列;
(3)若{an}的各項(xiàng)都不為零,{bn}是公差為d的等差數(shù)列,求證:a2 , a3 , …,an…成等差數(shù)列的充要條件是d= .
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