長度為a(a>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且滿足λ為常數(shù),且λ>0).

(1)求點P的軌跡方程C;

(2)當(dāng)a=λ+1時,過點M(1,0)作兩條互相垂直的直線l1l2,l1l2分別與曲線C相交于點NQ(都異于點M),試問△MNQ能不能是等腰三角形?若能,這樣的三角形有幾個;若不能,請說明理由.

解:(1)依題意,設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(x1,0),(0,y1),點P的坐標(biāo)為(x,y).

=λ,故(x-x1,y)=λ(-x,y1-y)=(-λx,λ(y1-y)).

                                                                      

∵|AB|=a,∴x+y=a2.∴(1+λ)2x2+()2y2= a2

∴點P的軌跡方程C是(1+λ)2x2+()2y2=a2.                                                      

(2)當(dāng)a=λ+1時,曲線C的方程是x2+=1,故點M(1,0)在曲線C上.

依題意,可知直線l1l2都不可能與坐標(biāo)軸平行,                                                

可設(shè)直線l1方程為y=k(x-1),直線l2方程為y=-(x-1),不妨設(shè)k>0.

消去y得(λ2k2)x2-2k2x+k2-λ2=0.

xm·xn=,又xm=1,得xn,

∴|MN|=|xn-xm|=|-1|=·.              

同理可得|MQ|=··.                     

假設(shè)ΔMNQ是等腰三角形,則|MN|=|MQ|,即··,

化簡得(k-1)[k2+(1-λ2)k+1]=0,

k=1或k2+(1-λ2)k+1=0.                                                                                 ①

①式的叛別式Δ=(1-λ2)2-4,

在RTΔEBD′中,=,可求得FG=.                                                  

∴sin∠FAG===.

∴直線AC與平面ABD′所成的角為Arcsin.


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長度為a(a>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且(λ為常數(shù)且λ>0).

(Ⅰ)求點P的軌跡方程C;

(Ⅱ)當(dāng)a=λ+1時,過點M(1,0)作兩條互相垂直的直線l1l2,l1l2分別與曲線C相交于點N和Q(都異于點M),試問:△MNQ能不能是等腰三角形?若能,這樣的三角形有幾個;若不能,請說明理由.

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(I)在AB上求一點D,使沿折線PDAO修建公路的總造價最小;
(II)對于(I)中得到的點D,在DA上求一點E,使沿折線PDEO修建公路的總造價最小.
(III)在AB上是否存在兩個不同的點D',E',使沿折線PD'E'O修建公路的總造價小于(II)中得到的最小總造價,證明你的結(jié)論、

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