Question

如圖，某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)P和居民區(qū)O的公路，點(diǎn)P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且，點(diǎn)P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點(diǎn)O到山腳修路的造價(jià)為a萬(wàn)元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬(wàn)元/km、當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為lkm（1≤l≤2）時(shí)，其造價(jià)為（l²+1）a萬(wàn)元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），．
（I）在AB上求一點(diǎn)D，使沿折線PDAO修建公路的總造價(jià)最小；
（II）對(duì)于（I）中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線PDEO修建公路的總造價(jià)最�。�
（III）在AB上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)D'，E'，使沿折線PD'E'O修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論、

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于（I）在AB上求一點(diǎn)D，使沿折線PDAO修建公路的總造價(jià)最�。�這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題，需要先把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為清晰的幾何圖形，然后設(shè)BD=x（km）．根據(jù)幾何關(guān)系列出總造價(jià)為f₁（x）的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)配方法求出最小值即為所求．
對(duì)于（II）對(duì)于（I）中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線PDEO修建公路的總造價(jià)最�。�設(shè)AE=y（km），，總造價(jià)為f₂（y）萬(wàn)元，求出總造價(jià)的f₂（y）的函數(shù)表達(dá)式，求出其導(dǎo)函數(shù)的方法，通過(guò)判斷在區(qū)間上正負(fù)問(wèn)題，討論區(qū)間單調(diào)性．然后根據(jù)單調(diào)性求極值即可得到答案．
解答：解：（I）如圖，PH⊥α，HB?α，PB⊥AB，
由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB，
所以∠PBH是山坡與α所成二面角的平面角，
則∠PBH=θ，．
設(shè)BD=x（km），0≤x≤1.5，
則∈[1，2]．
記總造價(jià)為f₁（x）萬(wàn)元，
據(jù)題設(shè)有=
當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)f₁（x）最小．
（II）設(shè)AE=y（km），，總造價(jià)為f₂（y）萬(wàn)元，
根據(jù)題設(shè)有=、
則，由f₂^′（y）=0，得y=1．
當(dāng)y∈（0，1）時(shí)，f₂^′（y）＜0，f₂（y）在（0，1）內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，f₂^′（y）＞0，f₂（y）在內(nèi)是增函數(shù)．
故當(dāng)y=1，即AE=1（km）時(shí)總造價(jià)f₂（y）最小，且最小總造價(jià)為萬(wàn)元．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．