【題目】設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足:對任意n∈N* , an , bn , an+1成等差數(shù)列,bn , an+1 , bn+1成等比數(shù)列,且a1=1,b1=2,a2=3.
(Ⅰ)證明數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{ }前n項的和.
【答案】證明:(I)∵對任意n∈N* , an , bn , an+1成等差數(shù)列,bn , an+1 , bn+1成等比數(shù)列, ∴2bn=an+an+1 , =bnbn+1 , an>0,
∴an+1= ,
∴2bn= + ,
∴ = + .
∴數(shù)列{ }是等差數(shù)列.
(II)解:a1=1,b1=2,a2=3.由(I)可得:32=2b2 , 解得:b2= .
∴公差d= = = .
= + (n﹣1)= × .
∴bn= .
∴ =bnbn+1= ,an+1>0.
∴an+1= ,
∴n≥2時,an= .n=1時也成立.
∴an= .n∈N* .
∴ = .
∴數(shù)列{ }前n項的和= =2 =
【解析】(I)對任意n∈N* , an , bn , an+1成等差數(shù)列,bn , an+1 , bn+1成等比數(shù)列,可得2bn=an+an+1 , =bnbn+1 , an>0,an+1= ,代入即可證明.(II)a1=1,b1=2,a2=3.由(I)可得:32=2b2 , 解得:b2 . 公差= .可得 = × .bn代入 =bnbn+1 , an+1>0.可得an+1= ,可得 = .即可得出.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=mln(x+1),g(x)= (x>﹣1).
(Ⅰ)討論函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)在(﹣1,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線,試求實數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F1、F2為雙曲線的焦點,過F2垂直于實軸的直線交雙曲線于A、B兩點,BF1交y軸于點C,若AC⊥BF1 , 則雙曲線的離心率為( )
A.
B.
C.2
D.2
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)= + ,則f(0)+f(2017)的最大值為( )
A.1﹣
B.1+
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種商品計劃提價,現(xiàn)有四種方案,方案(Ⅰ)先提價m%,再提價n%;方案(Ⅱ)先提價n%,再提價m%;方案(Ⅲ)分兩次提價,每次提價( )%;方案(Ⅳ)一次性提價(m+n)%,已知m>n>0,那么四種提價方案中,提價最多的是( )
A.Ⅰ
B.Ⅱ
C.Ⅲ
D.Ⅳ
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【題目】在極坐標系中,已知直線l的極坐標方程 為ρsin(θ+ )=1,圓C的圓心是C(1, ),半徑為1,求:
(1)圓C的極坐標方程;
(2)直線l被圓C所截得的弦長.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a2﹣a﹣2b﹣2c=0且a+2b﹣2c+3=0.則△ABC中最大角的度數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解人們對于國家新頒布的“生育二孩放開”政策的熱度,現(xiàn)在對某市年齡在35歲的人調(diào)查,隨機選取年齡在35歲的100人進行調(diào)查,得到他們的情況為:在55名男性中,支持生二孩的有40人,不支持生二孩的有15人;在45名女性中,支持生二孩的有20人,不支持的有25人.
(Ⅰ)完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷有多大的把握認為“支持生二孩與性別有關(guān)”?
支持生二孩 | 不支持生二孩 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 |
附:K2= ,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(Ⅱ)在被調(diào)查的人員中,按分層抽樣的方法從支持生二孩的人中抽取6人,再用簡單隨機抽樣的方法從這6人中隨機抽取2人,求這2人中恰好有1名男性的概率;
(Ⅲ)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體,從年齡在35歲人中隨機抽取3人,記這3人中支持生二孩且為男性的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中(如圖①),AB∥CD,AB⊥BC,G為AD上一點,且AB=AG=1,GD=CD=2,M為GC的中點,點P為邊BC上的點,且滿足BP=2PC.現(xiàn)沿GC折疊使平面GCD⊥平面ABCG(如圖②).
(1)求證:平面BGD⊥平面GCD:
(2)求直線PM與平面BGD所成角的正弦值.
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