已知，函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)（設(shè)為和）時(shí)，求證：.

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，實(shí)質(zhì)上就是確定分子的正負(fù)，從而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，即對(duì)分子的的符號(hào)進(jìn)行分類討論，從而確定的符號(hào)情況，進(jìn)而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）根據(jù)、與之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得出以及的表達(dá)式，代入所證的不等式中，利用分析法將所要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式，利用作差法，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)圍繞來證明.
試題解析：（1），
，考慮分子
當(dāng)，即時(shí)，在上，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)解不相等的實(shí)數(shù)根：，，顯然，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增.
（2）、是的兩個(gè)極值點(diǎn)，故滿足方程，
即、是的兩個(gè)解，，

而在中，，
因此，要證明，
等價(jià)于證明，
注意到，只需證明，即證，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
因此，從而，即，原不等式得證.
考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.分類討論；3.分析法；4.構(gòu)造新函數(shù)證明函數(shù)不等式

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝－aln x＋＋x(a≠0)，
(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x－2y＝0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

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設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.

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已知函數(shù)．
（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2）若不等式對(duì)任意的都成立，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的最大值．

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已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，是否存在區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/2/gxbpg2.png" style="vertical-align:middle;" />，若存在求出，若不存在說明理由.

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已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得與同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線與曲線交于另一點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線，設(shè)切線的斜率分別為．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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。
（Ⅰ）求的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
(Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，。

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已知函數(shù)，f '（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f '（x）是偶函數(shù)且f '（1）=0.
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有，求實(shí)數(shù)的最小值；
⑶若過點(diǎn)，可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若曲線在與處的切線相互平行，求的值及切線斜率；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)的圖像C1與函數(shù)的圖像C2交于P、Q兩點(diǎn)，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N，證明：C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不可能平行．

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