已知函數(shù),.
(Ⅰ)若曲線在與處的切線相互平行,求的值及切線斜率;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)的圖像C1與函數(shù)的圖像C2交于P、Q兩點,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N,證明:C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不可能平行.
(Ⅰ),;(Ⅱ) ;(Ⅲ)見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)由已知條件“曲線在與處的切線相互平行”可知,曲線在這兩處的切線的斜率相等,求出曲線的導(dǎo)數(shù),根據(jù)求出的值及切線斜率;(Ⅱ)有已知條件“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”可知,在區(qū)間上恒成立,得到,則有,依據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域,求得函數(shù)在區(qū)間的值域是,從而得到;(Ⅲ)用反證法,先假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,設(shè),,則有,分別代入函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求得①,結(jié)合P、Q兩點是函數(shù)的圖像C1與函數(shù)的圖像C2的交點,則坐標滿足曲線方程,將①化簡得到,設(shè),,進行等量代換得到,存在大于1的實根,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減的,從而,得出矛盾.
試題解析:(Ⅰ),
則,
∵在與處的切線相互平行,
∴,即,解得,
.
(Ⅱ)∵在區(qū)間上單調(diào)遞減,
∴在區(qū)間上恒成立,
則,即,
∵,∴,
∴.
(Ⅲ),,
假設(shè)有可能平行,則存在使,
,
不妨設(shè),,
則方程存在大于1的實根,設(shè),
則,∴,這與存在使矛盾.
考點:1.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì);2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;3.反證法;4.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線切線的斜率;5.不等式恒成立問題
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已知,函數(shù).
(1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當有兩個極值點(設(shè)為和)時,求證:.
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(本小題滿分12分)已知函數(shù),.
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若恒成立,求實數(shù)的值.
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設(shè)函數(shù)。
(Ⅰ)若時,函數(shù)取得極值,求函數(shù)的圖像在處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)的取值范圍。
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已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(Ⅲ)若,使()成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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設(shè)函數(shù),.
(1)若曲線與在它們的交點處有相同的切線,求實數(shù)、的值;
(2)當時,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當,時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)的值域為,若關(guān)于的不等式的解集為,求的值;
(Ⅱ)當時,為常數(shù),且,,求的取值范圍.
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已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是.
(I)求函數(shù)的解析式;
(II)設(shè)函數(shù),若的極值存在,求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值.
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已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上的圖像與直線恒有兩個不同交點,求實數(shù)的取值范圍.
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