【題目】如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱， ， 兩兩垂直， 為等邊三角形， 為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）若，求二面角的余弦值．

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知條件利用勾股定理得， ，得進(jìn)行證明；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，通過證明平面來證得結(jié)論；（Ⅲ）以、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量的夾角的余弦值，結(jié)合圖形即可得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>， ， 兩兩垂直，

所以，

又△為等邊三角形，

所以 ，故

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、

因?yàn)?/span>， ，所以

，所以平面

所以

（Ⅲ）如圖建立空間坐標(biāo)系

因?yàn)?/span>，可設(shè),則

由（Ⅰ）同理可得

因?yàn)?/span>，

所以

所以設(shè)（）

所以，所以

平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為則

取則所以，

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】判斷下列命題的真假：

（1）是的必要條件；

（2）是的充要條件；

（3）兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角相等是這兩個(gè)三角形相似的充要條件；

（4）三角形的三條邊滿足勾股定理是這個(gè)三角形為直角三角形的充要條件；

（5）在中，重心和垂心重合是為等邊三角形的必要條件；

（6）如果點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是正方形， 平面， // ， ， ， 為的中點(diǎn)．

（1）求證： ；

（2）求證： //平面；

（3）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，如圖所示點(diǎn)為橢圓上任意三點(diǎn)．

（Ⅰ）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得代數(shù)式為定值．若存在，求出實(shí)數(shù)和的值；若不存在，說明理由．

（Ⅱ）若，求三角形面積的最大值；

（Ⅲ）滿足（Ⅱ），且在三角形面積取得最大值的前提下，若線段與橢圓長(zhǎng)軸和短軸交于點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)）．判斷四邊形的面積是否為定值．若是，求出定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項(xiàng)社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的慈善公益活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：被邀請(qǐng)者要么在小時(shí)內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機(jī)構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動(dòng)．若被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請(qǐng)另外個(gè)人參與這項(xiàng)活動(dòng)．假設(shè)每個(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響．

（1）若某參與者接受挑戰(zhàn)后，對(duì)其他個(gè)人發(fā)出邀請(qǐng)，則這個(gè)人中至少有個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？

（2）為了解冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別是否有關(guān)，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，調(diào)查得到如下列聯(lián)表：

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有%的把握認(rèn)為“冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別有關(guān)”？

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人以視覺上以透空的感覺和藝術(shù)享受.在中國(guó)南北方的剪紙藝術(shù)，通過一把剪刀、一張紙、就可以表達(dá)生活中的各種喜怒哀樂.如圖是一邊長(zhǎng)為1的正方形剪紙圖案，中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心，圓與圓之間是相切的，且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍，若在正方形圖案上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自白色區(qū)域的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中，點(diǎn)(an，an＋1)在直線y＝x＋2上，且首項(xiàng)a1＝1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，請(qǐng)寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱中，側(cè)面底面ABC，．

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大�。�

（2）已知點(diǎn)D滿足，在直線上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓C過點(diǎn)T（1，1），記l為圓O：x2+y2=1的切線

（1）求橢圓C的方程；

（2）若l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求證：∠AOB為定值．

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