【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓C過點(diǎn)T(1,1),記l為圓O:x2+y2=1的切線
(1)求橢圓C的方程;
(2)若l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),求證:∠AOB為定值.
【答案】(1)=1.(2)見解析.
【解析】
(1)利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)和橢圓上的點(diǎn),構(gòu)造方程求解出橢圓方程;(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),求得坐標(biāo),可求得;當(dāng)直線斜率存在時(shí),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理表示出,整理化簡(jiǎn)可得,可得;從而可知為定值.
(1)焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓過點(diǎn)
設(shè)橢圓方程為
則,解得,
橢圓的方程為
(2)證明:為圓的切線
當(dāng)的斜率不存在時(shí),的方程為
又與橢圓交于兩點(diǎn)
則,或,
,或,
當(dāng)直線存在斜率時(shí),設(shè)的方程為:
則,即
聯(lián)立,得
由題意,設(shè),
則,
綜上可知,為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱錐的三條側(cè)棱, , 兩兩垂直, 為等邊三角形, 為內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且.
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列共有k項(xiàng),且同時(shí)滿足,,則稱數(shù)列為數(shù)列.
(1)若等比數(shù)列為數(shù)列,求的值;
(2)已知為給定的正整數(shù),且,
①若公差為的等差數(shù)列是數(shù)列,求公差d;
②若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中常數(shù),判斷數(shù)列是否為數(shù)列,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】治理大氣污染刻不容緩,根據(jù)我國(guó)分布的《環(huán)境空氣質(zhì)量數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定》:空氣質(zhì)量指數(shù)劃分階為0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六級(jí),對(duì)應(yīng)于空氣質(zhì)量指數(shù)的六個(gè)級(jí)別,指數(shù)越大,級(jí)別越高,說明污染越嚴(yán)重,對(duì)人體健康的影響也越明顯.專家建議:當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)小于時(shí),可以戶外運(yùn)動(dòng);空氣質(zhì)量指數(shù)及以上,不適合進(jìn)行旅游等戶外活動(dòng),以下是某市年月中旬的空氣質(zhì)量指數(shù)情況:
時(shí)間 | 11日 | 12日 | 13日 | 14日 | 15日 | 16日 | 17日 | 18日 | 19日 | 20日 |
AQI | 149 | 143 | 251 | 254 | 138 | 55 | 69 | 102 | 243 | 269 |
(1)求月中旬市民不適合進(jìn)行戶外活動(dòng)的概率;
(2)一外地游客在月中旬來該市旅游,想連續(xù)游玩兩天,求適合旅游的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線過點(diǎn),且傾斜角為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程及直線的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為, ,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三角形三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)自然數(shù).
(1)且三角形為鈍角三角形,求三邊長(zhǎng);
(2)且最大角是最小角的倍,求三邊長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過300):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級(jí) | 1級(jí)優(yōu) | 2級(jí)良 | 3級(jí)輕度污染 | 4級(jí)中度污染 | 5級(jí)重度污染 | 6級(jí)嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在2018年11月中10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.
(Ⅰ)以這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為估計(jì)2018年11月的空氣質(zhì)量情況,則2018年11月中有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良?
(Ⅱ)已知空氣質(zhì)量等級(jí)為1級(jí)時(shí)不需要凈化空氣,空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)時(shí)每天需凈化空氣的費(fèi)用為1000元,空氣質(zhì)量等量等級(jí)為3級(jí)時(shí)每天需凈化空氣的費(fèi)用為2000元.若從這10天樣本中空氣質(zhì)量為1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)的天數(shù)中任意抽取兩天,求這兩天的凈化空氣總費(fèi)用為3000元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,若{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn<.
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