【題目】如圖,幾何體EF﹣ABCD中,CDEF為邊長(zhǎng)為2的正方形,ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(1)求證:AC⊥FB
(2)求二面角E﹣FB﹣C的大。
【答案】
(1)證明:由題意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,
∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC,
∵四邊形CDEF為正方形.∴DC⊥FC
由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥AC
又∵四邊形ABCD為直角梯形,
AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4
∴ , ,則有AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,∴AC⊥FB
(2)解:由(1)知AD,DC,DE所在直線相互垂直,
故以D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線分別為x,y,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,…(7分)
可得D(0,0,0),F(xiàn)(0,2,2),B(2,4,0),
E(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0),
由(1)知平面FCB的法向量為 ,
∴ ,…(8分)
設(shè)平面EFB的法向量為 ,
則有:
令z=1則 ,…(10分)
設(shè)二面角E﹣FB﹣C的大小為θ,
,
∵ ,∴ .…(12分)
【解析】(1)由題意得,AD⊥DC,AD⊥DF,從而AD⊥FC,DC⊥FC,由此能證明AC⊥FB.(2)以D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E﹣FB﹣C的大。
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).
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【題目】折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段.已知在折疊“愛心”的過程中會(huì)產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形,其中四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點(diǎn),四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形,連接EB,CI,則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖.設(shè)橢圓C: (a>b>0)的離心率e= ,橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和是4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l:x=1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),P點(diǎn)位于第一象限,A、B是橢圓上位于直線l兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),若直線AB的斜率為 ,求四邊形APBQ面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=x2+ax+ 在( ,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是( )
A.[﹣1,0]
B.[﹣1,+∞)
C.[0,3]
D.[3,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+2|+|x﹣1|.
(1)求不等式f(x)>5的解集;
(2)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f(x)≥|a﹣1|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某程序框圖如圖所示,現(xiàn)將輸出(x,y)值依次記為:(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),…,若程序運(yùn)行中輸出一個(gè)數(shù)組是(x,﹣10),則數(shù)組中的x=( )
A.16
B.32
C.64
D.128
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=g(x)﹣(a﹣1)lnx,g(x)=ax+ +1﹣3a+(a﹣1)lnx.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(2)若不等式g(x)≥0在x∈[1,+∞)時(shí)恒成立,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 若a2 , a5 , a11成等比數(shù)列,且a11=2(Sm﹣Sn)(m>n>0,m,n∈N*),則m+n的值是 .
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