【題目】如圖.設(shè)橢圓C: (a>b>0)的離心率e= ,橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個焦點(diǎn)F1、F2的距離之和是4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l:x=1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),P點(diǎn)位于第一象限,A、B是橢圓上位于直線l兩側(cè)的動點(diǎn),若直線AB的斜率為 ,求四邊形APBQ面積的最大值.

【答案】
(1)解:∵橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個焦點(diǎn)F1、F2的距離之和是4,

∴2a=4,即a=2,

又∵離心率e= ,

= ,即b2=3,

∴橢圓C的方程為: ;


(2)解:依題意, ,解得:yP= ,

設(shè)T(1,t),則﹣ <t< ,

∵過點(diǎn)T的直線AB的斜率為

∴直線AB方程為:x﹣2y+2t﹣1=0,

∴點(diǎn)P到直線AB的距離dP= =

點(diǎn)Q到直線AB的距離dQ= = ,

聯(lián)立直線AB與橢圓方程,消去x整理得:

16y2﹣12(2t﹣1)y+12t2﹣12t﹣9=0,

∴y1+y2= ,y1y2= ,

=

= ﹣4

= ,

∴|AB|2= + =5

∴S四邊形APBQ= |AB|(dP+dQ

= +

= ,

記f(t)=﹣4t2+4t+15=﹣4 +16,

則當(dāng)t= 時(shí),f(t)取最大值16,此時(shí)S四邊形APBQ取最大值,

∴四邊形APBQ面積取最大值 =


【解析】(1)通過橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個焦點(diǎn)F1、F2的距離之和是4、利用橢圓定義可知a=2,通過離心率e= 可知b2=3,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)由(1)可知yP= ,通過設(shè)T(1,t)(﹣ <t< ),利用過點(diǎn)T的直線AB的斜率為 可知直線AB方程為x﹣2y+2t﹣1=0,進(jìn)而可知點(diǎn)P到直線AB的距離dP= 、點(diǎn)Q到直線AB的距離dQ= ,通過聯(lián)立直線AB與橢圓方程、利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式可知|AB|2=5 ,利用S四邊形APBQ= |AB|(dP+dQ)計(jì)算可知S四邊形APBQ= ,通過配方可知f(t)=﹣4t2+4t+15在t= 時(shí)取最大值16,進(jìn)而可得結(jié)論.

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(I)寫出直線l的一般方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程,并判斷它們的位置關(guān)系;
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(1)求橢圓C的方程;
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的最大值.

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(1)寫出l的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程;
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