Question

15．如圖，已知矩形BB₁C₁C所在平面與底面ABB₁N垂直，在直角梯形ABB₁N中，AN∥BB₁，AB⊥AN，CB=BA=AN=$\frac{1}{2}$BB₁．
（1）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求二面角C-C₁N-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面ABB₁N，建立空間坐標(biāo)系，利用向量證明BN⊥NB₁，NB⊥B₁C₁，故而得出結(jié)論；
（2）求出兩平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角即可得出二面角的大小．

解答 （1）證明：∵四邊形BB₁C₁C是矩形，∴BC⊥BB₁，
∵平面BB₁C₁C⊥底面ABB₁N，平面BB₁C₁C∩底面ABB₁N=BB₁，BC?平面BB₁C₁C，
∴BC⊥平面ABB₁N，
以B為原點(diǎn)，以BA，BB₁，BC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
設(shè)AB=1，則B（0，0，0），N（1，1，0），B₁（0，2，0），C₁（0，2，1），C（0，0，1）
∴$\overrightarrow{BN}$=（1，1，0），$\overrightarrow{N{B}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{N{B}_{1}}$=-1+1=0，$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，又NB₁∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N．
（2）解：$\overrightarrow{N{C}_{1}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{NC}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，2，0），
設(shè)平面BNC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BN}=0$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{N{C}_{1}}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
同理可得平面CNC₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角C-C₁N-B的大小為30°．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．