15.定義:若函數(shù)f(x)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0,有f(x0)=x0,則稱x0是f(x)的一個不動點.已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)當(dāng)a=1,b=3時,求函數(shù)f(x)的不動點;
(2)若對任意的實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個不動點,求a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個點A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點,且A、B的中點C在函數(shù)g(x)=-x+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$的圖象上,求b的最小值.(參考公式:A(x1,y1),B(x2,y2)的中點坐標(biāo)為($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$))

分析 (1)當(dāng)a=1,b=3時,f(x)=x2+4x+2,由x2+4x+2=x,解得答案;
(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,則ax2+bx+b-1=0 ①,則方程①恒有兩個不等實根,即b2-4ab+4a>0恒成立,則△′=16a2-16<0,解得a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,x1+x2=-$\frac{a}$=$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$,即b=$\frac{-2{a}^{2}}{5{a}^{2}-4a+1}$=$\frac{-2}{(\frac{1}{a}-2)^{2}+1}$,進(jìn)而得到b的最小值.

解答 解:(1)當(dāng)a=1,b=3時,f(x)=x2+4x+2,
由x2+4x+2=x,
解得x=-2或x=-1,
所以所求的不動點為-1或-2.
(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,則ax2+bx+b-1=0 ①
由題意,方程①恒有兩個不等實根,所以△=b2-4a(b-1)>0,
即b2-4ab+4a>0恒成立,
則△′=16a2-16<0,
故0<a<1
(3)設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),g(x)=-x+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$,
又AB的中點在該直線上,所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$,
∴x1+x2=-$\frac{a}$=$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$,
∴b=$\frac{-2{a}^{2}}{5{a}^{2}-4a+1}$=$\frac{-2}{(\frac{1}{a}-2)^{2}+1}$
∴當(dāng) a=$\frac{1}{2}$∈(0,1)時,bmin=-2.

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.

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