分析 (1)當(dāng)a=1,b=3時,f(x)=x2+4x+2,由x2+4x+2=x,解得答案;
(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,則ax2+bx+b-1=0 ①,則方程①恒有兩個不等實根,即b2-4ab+4a>0恒成立,則△′=16a2-16<0,解得a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,x1+x2=-$\frac{a}$=$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$,即b=$\frac{-2{a}^{2}}{5{a}^{2}-4a+1}$=$\frac{-2}{(\frac{1}{a}-2)^{2}+1}$,進(jìn)而得到b的最小值.
解答 解:(1)當(dāng)a=1,b=3時,f(x)=x2+4x+2,
由x2+4x+2=x,
解得x=-2或x=-1,
所以所求的不動點為-1或-2.
(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,則ax2+bx+b-1=0 ①
由題意,方程①恒有兩個不等實根,所以△=b2-4a(b-1)>0,
即b2-4ab+4a>0恒成立,
則△′=16a2-16<0,
故0<a<1
(3)設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),g(x)=-x+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$,
又AB的中點在該直線上,所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$,
∴x1+x2=-$\frac{a}$=$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$,
∴b=$\frac{-2{a}^{2}}{5{a}^{2}-4a+1}$=$\frac{-2}{(\frac{1}{a}-2)^{2}+1}$
∴當(dāng) a=$\frac{1}{2}$∈(0,1)時,bmin=-2.
點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.
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