Question

10．已知a，b為正實數(shù)，向量$\overrightarrow{m}$=（a，a-4），向量$\overrightarrow{n}$=（b，1-b），若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，則a+b最小值為3．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得$\frac{4}{a}+\frac{1}$=2，于是a+b=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{a}+\frac{1}$）（a+b）=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a}+\frac{a}）$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴b（a-4）-a（1-b）=0，化為：$\frac{4}{a}+\frac{1}$=2，
又a，b＞0．
則a+b=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{a}+\frac{1}$）（a+b）=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a}+\frac{a}）$$≥\frac{1}{2}$$（2+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}）$=3，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3時取等號．
∴a+b最小值為3．
故答案為：3．

點評 本題考查了向量共線定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．