【題目】如圖(1),平面直角坐標(biāo)系中,的方程為,的方程為,兩圓內(nèi)切于點(diǎn),動(dòng)圓外切,與內(nèi)切.

1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;

2)如圖(2),過點(diǎn)作的兩條切線,若圓心在直線上的也同時(shí)與相切,則稱的一個(gè)“反演圓”

(ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:的半徑為定值;

(ⅱ)在(。┑臈l件下,已知均與外切,與內(nèi)切,且的圓心為,求證:若的“反演圓”相切,則也相切。

【答案】(1)(2)(。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕

【解析】

1)設(shè)的半徑為,根據(jù)題意得到,,根據(jù)橢圓定義,即可判斷出點(diǎn)軌跡,從而求出軌跡方程;

(2)(ⅰ)設(shè),得到的半徑為,設(shè),由題意得到,過點(diǎn)的的切線方程為,由點(diǎn)到直線距離公式,得到到切線的距離以及到切線的距離,再由,即可證明結(jié)論成立;

(ⅱ)由的圓心為,得到在軌跡上,此時(shí)的半徑為,其反演圓圓心為,半徑為,再由題意,得到與相切的反演圓的圓心為,或,半徑為;分別討論的圓心為,以及的圓心為兩種情況,即可證明結(jié)論成立.

1)由題意,設(shè)的半徑為,

內(nèi)切,,

外切,

,

由橢圓的定義,點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),

,

其軌跡方程為.

2)(。┰O(shè),此時(shí)的半徑為

設(shè),

的交點(diǎn),其坐標(biāo)為,

設(shè)過點(diǎn)的的切線方程為

到切線的距離,

到切線的距離為:

,

,

,

當(dāng)時(shí),的半徑為定值.

(ⅱ)當(dāng)的圓心為時(shí),顯然在軌跡上,

此時(shí)的半徑為,其反演圓圓心為,半徑為,

由題意,與相切的反演圓的圓心為,或,半徑為;

1)當(dāng)的圓心為時(shí),易知重合,

其方程為

,故相切;

2)當(dāng)的圓心為時(shí),三點(diǎn)共線,

為直線與橢圓的交點(diǎn),

的方程為:,故,

的半徑,

,故相切.

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C.先向左平移個(gè)單位,再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變

D.先向右平移個(gè)單位,再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變

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