【題目】設函數(shù)f(x)=emx+x2﹣mx.
(1)證明:f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;
(2)若對于任意x1 , x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范圍.
【答案】
(1)證明:f′(x)=m(emx﹣1)+2x.
若m≥0,則當x∈(﹣∞,0)時,emx﹣1≤0,f′(x)<0;當x∈(0,+∞)時,emx﹣1≥0,f′(x)>0.
若m<0,則當x∈(﹣∞,0)時,emx﹣1>0,f′(x)<0;當x∈(0,+∞)時,emx﹣1<0,f′(x)>0.
所以,f(x)在(﹣∞,0)時單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增
(2)解:由(1)知,對任意的m,f(x)在[﹣1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增,故f(x)在x=0處取得最小值.
所以對于任意x1,x2∈[﹣1,1],|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1的充要條件是
即
設函數(shù)g(t)=et﹣t﹣e+1,則g′(t)=et﹣1.
當t<0時,g′(t)<0;當t>0時,g′(t)>0.故g(t)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.
又g(1)=0,g(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故當t∈[﹣1,1]時,g(t)≤0.
當m∈[﹣1,1]時,g(m)≤0,g(﹣m)≤0,即合式成立;
當m>1時,由g(t)的單調(diào)性,g(m)>0,即em﹣m>e﹣1.
當m<﹣1時,g(﹣m)>0,即e﹣m+m>e﹣1.
綜上,m的取值范圍是[﹣1,1]
【解析】(1)利用f′(x)≥0說明函數(shù)為增函數(shù),利用f′(x)≤0說明函數(shù)為減函數(shù).注意參數(shù)m的討論;(2)由(1)知,對任意的m,f(x)在[﹣1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增,則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題.從而求得m的取值范圍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1,E、F分別是棱AA′,CC′的中點,過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N,設BM=x,x∈[0,1],給出以下四個命題:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②當且僅當x= 時,四邊形MENF的面積最;
③四邊形MENF周長l=f(x),x∈0,1]是單調(diào)函數(shù);
④四棱錐C′﹣MENF的體積v=h(x)為常函數(shù);
以上命題中真命題的序號為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150、150、400、300名學生,為了解學生的就業(yè)傾向,用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)共抽取40名學生進行調(diào)查,應在丙專業(yè)抽取的學生人數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c﹣16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有極大值28,求f(x)在[﹣3,3]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系中,曲線,曲線.以極點為坐標原點,極軸為軸正半軸建立平面直角坐標系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求的直角坐標方程;
(2)與交于不同的四點,這四點在上排列順次為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對稱圖.如果一個函數(shù)的圖像能夠?qū)A的面積和周長分成兩個相等的部分,我們稱這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”.下列命題中錯誤命題的個數(shù)是( )
對于任意一個圓其對應的太極函數(shù)不唯一;
如果一個函數(shù)是兩個圓的太極函數(shù),那么這兩個圓為同心圓;
圓的一個太極函數(shù)為;
圓的太極函數(shù)均是中心對稱圖形;
奇函數(shù)都是太極函數(shù);
偶函數(shù)不可能是太極函數(shù).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】已知函數(shù)且.
(1)若函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設函數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù).若存在,使不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某中學舉行的物理知識競賽中,將三個年級參賽學生的成績在進行整理后分成5組,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖,圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組.已知第三小組的頻數(shù)是15.
(1)求成績在50~70分的頻率是多少;
(2)求這三個年級參賽學生的總?cè)藬?shù)是多少;
(3)求成績在80~100分的學生人數(shù)是多少.
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